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相关试卷

1、为贯彻“阳光体育”计划，促进学生身心素养的提高，某校倡导全校学生积极参与体育运动，并统计学生一周内运动时长，发现时长均在区间 $[2, 12]$ 之间（单位：小时）.

(1)、将全校男生一周内运动时长分为 $[2, 4]$ ， $(4, 6]$ ， $(6, 8]$ ， $(8, 10]$ ， $(10, 12]$ 五组，并绘制如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.求该校男生一周运动时长的平均数 $\bar{x}$ 和中位数 $y$ ；

(2)、已知高二（1）班男生30人，女生20人，根据数据统计分析，发现该班男生一周内运动时长的平均数为9，方差为2；女生一周内运动时长的平均数为6.5，方差为4.求该班级全体学生一周内运动时长的方差 $s^{2}$ .

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2、已知向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线的单位向量，且向量 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} - x \vec{e_{2}}$ .

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = - \frac{1}{2}$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $|\vec{b}|$ .

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3、已知 $a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = 2$ ，则 $a^{2} + a^{- 2} =$ .

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4、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $2 \sqrt{3} S + b c cos A = b^{2} + c^{2}$ ，则 $\frac{sin A}{cos B + cos C} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $|\vec{b}| = 2 |\vec{a}|$ ，且向量 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- 2 \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6、已知三个不同的平面 $α, β, γ$ ，且 $α ⊥ γ$ ，则“ $β ⊥ γ$ ”是“ $α / / β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），将所得到的数据分成7组： $[5, 10)$ ， $[10, 15)$ ， $[15, 20)$ ， $[20, 25)$ ， $[25, 30)$ ， $[30, 35)$ ， $[35, 40]$ （棉花纤维的长度均在 $[5, 40]$ 内），绘制得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求 $a$ 的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；

(2)、估计棉花纤维的长度的75%分位数．

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8、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, \frac{\cos C}{c} = \frac{\cos A}{4 b - a}$ ．

(1)、求 $\sin C$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，且 $a + b = \frac{2 \sqrt{6}}{3} c$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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9、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ，且 $\vec{A D} = 3 \vec{A E}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{11}{12} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{12} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{A C} - \frac{11}{12} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A C} - \frac{1}{12} \bar{A B}$

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10、已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足 $Y = 2 X - 1$ ，则 $P (Y \geq 3) =$ （）
X
0
1
2
3
P
a
$\frac{1}{3}$
5a
$\frac{1}{6}$

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11、已知集合 $A = \{x| - 1 < x < 2\}$ ， $B = \{x| 0 < x < 1\}$ ，则（）

A、 $A > B$ B、A $\subseteq$ B C、B $\subseteq$ A D、 $A = B$

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12、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \frac{a x}{x + 1} (a > 0)$ .

(1)、若 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的一个极值点，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $[0, + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： ${(\frac{2024}{2023})}^{2024} > e$ （ $e$ 为自然对数的底数）.

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13、已知 $\{a_{n}\}$ 数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{n} = 2 a_{n} - 3 n (n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 3\}$ 是等比数列，并求出数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{3} (a_{n} + 3)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、数列 $\{a_{n}\}$ 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（直接写出结论，不要求证明）.

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14、已知 $a \in N^{*}$ ，函数 $f (x) = e^{x} - x^{a} > 0$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为.

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15、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的左､右焦点， $P$ 为椭圆上一点且 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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16、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}$ 、 $A A_{1}$ 的中点， $G$ 为线段 $B_{1} C$ 上一个动点，则（）

A、三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的体积为定值 B、存在点 $G$ ，使平面 $E F G //$ 平面 $B D C_{1}$ C、当点 $G$ 与 $B_{1}$ 重合时，二面角 $G - E F - A_{1}$ 的正切值为 $2 \sqrt{2}$ D、当点 $G$ 为 $B_{1} C$ 中点时，平面 $E F G$ 截正方体所得截面的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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17、已知直线 $y = k x + m$ （ $m$ 为常数）与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于点 $M ， N$ ，当 $k$ 变化时，若 $| M N |$ 的最小值为2，则 $m =$

A、 $\pm 1$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm 2$

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18、已知 $ξ$ 的分布列为
$ξ$
1
2
3
4
$P$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{3}$
$m$
设 $η = 2 ξ - 5$ ，则 $E (η) =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{19}{6}$ D、 $\frac{3}{2}$

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19、已知函数 $f (x) = ln x + \frac{1}{2} x^{2} - a x$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的最大值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，且存在 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 1 - 2 a$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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20、为提升学生体质，弘扬中华传统文化，某校本学期开设了武术社团，有10位武术爱好同学参加，并邀请专业体育教师帮助训练.教师训练前对10位同学测试打分，训练一段时间后再次打分，两次得分情况如表格所示.规定满分为10分，记得分在8分以上（包含8分）的为“优秀”.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
训练前
4
7
5
9
5
2
8.5
6
7
5
训练后
8.5
9.5
7.5
9.5
8.5
6
9.5
8.5
9
9
优秀人数
非优秀人数
合计
训练前
训练后
合计

(1)、将上面的列联表补充完整，并根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，判断武术社团同学的武术优秀情况与训练是否有关？并说明原因；

(2)、从这10人中任选4人，在这4人中恰有3人训练后为“优秀”的条件下，求这4人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率；

(3)、为迎接汇报表演，甲同学连续4天每天进行 $A$ 和 $B$ 两个武术项目的训练考核， $A$ 、 $B$ 项目考核相互独立，且每天考核互相不影响， $A$ 项若为优秀得2分，概率为 $p$ ， $B$ 项若为优秀得3分，概率为 $\frac{1}{3}$ ，否则都只得1分.设甲同学在这4天里，恰有3天每天得分不低于3分的概率为 $f (p)$ ，求 $p$ 为何值时， $f (p)$ 取得最大值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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	1		2	3	4		5	6	7	8		9	10
训练前	4		7	5	9		5	2	8.5	6		7	5
训练后	8.5		9.5	7.5	9.5		8.5	6	9.5	8.5		9	9
		优秀人数				非优秀人数					合计
训练前
训练后
合计

X	0	1	2	3
P	a	$\frac{1}{3}$	5a	$\frac{1}{6}$

$ξ$	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$m$

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828