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相关试卷

1、设 $z$ 为复数（ $i$ 为虚数单位），下列命题正确的有（）

A、若 $z \in R$ ，则 $z = \bar{z}$ B、若 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若 $(1 + i) z = 1 - i$ ，则 $|z| = 1$ D、若 $z^{2} + 1 = 0$ ，则 $z = i$

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2、已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 和 $y = - \frac{1}{16} x^{2} + 5$ 所围成的封闭曲线如图所示，已知点 $A (0, a)$ ，若在此封闭曲线上至少存在两对不同的点，满足每一对点关于点 $A$ 对称，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 4]$ B、 $[\frac{5}{2}, 4)$ C、 $[\frac{5}{2}, 3)$ D、 $(2, 3]$

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3、已知直线 $l : y = m x - m - 1$ ， $P$ 为圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ 上一动点，设 $P$ 到直线 $l$ 距离的最大值为 $d (m)$ ，当 $d (m)$ 最大时， $m$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $2$

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4、甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（）

A、156 B、210 C、211 D、216

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5、2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）： $A B \approx 8$ cm， $A D \approx 2$ cm， $A O \approx 5$ cm，若 $\sin 37^{°} \approx \frac{3}{5}$ ， $π \approx 3.14$ ，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（）

A、 $6.8 {cm}^{2}$ B、 $9.8 {cm}^{2}$ C、 $14.8 {cm}^{2}$ D、 $22.4 {cm}^{2}$

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6、在 ${(2 + x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为（）

A、1 B、10 C、40 D、80

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7、已知集合 $P = \{x |- 1 \leq x \leq 1\}$ ， $M = \{- a, a\}$ ．若 $P \cup M = P$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $\{a |- 1 \leq a \leq 1\}$ B、 $\{a |- 1 < a < 1\}$ C、 $\{a |- 1 < a < 1$ 且 $a \neq 0\}$ D、 $\{a |- 1 \leq a \leq 1$ 且 $a \neq 0\}$

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8、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中 $a = 2$ ，已知S为 $△ A B C$ 的面积且满足 $4 \sqrt{3} S + 3 (4 - b^{2}) = 3 c^{2}$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的取值范围；

(2)、法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．若P是 $△ A B C$ 内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式： $y_{1}, y_{2}, y_{3} n \in R^{+}$ ， $\frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{y_{3}} \geq \frac{{(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2}}{y_{1} + y_{2} + y_{3}}$ 当且仅当 $\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}} = \frac{x_{3}}{y_{3}}$ 时等号成立．求 $T = \frac{| A B |}{| P D |} + \frac{4 | B C |}{| P E |} + \frac{| A C |}{| P F |}$ 的最小值．

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9、已知平面向量 $\vec{a} = (\sin x, \cos x)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \cos x, - \cos x)$ ， $\vec{c} = (1, 2 \cos x - 1)$ ．

(1)、设函数 $f (x) = 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求 $f (x)$ 的对称轴方程；

(2)、设函数 $g (x) = 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，求 $g (x)$ 的最大值．

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10、函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的一段图象如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $f (x) - a \leq 0$ 在 $x \in [- π, \frac{π}{3}]$ 上恒成立，求实数a的取值范围．

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11、某海域的东西方向上分别有A，B两个观测点（如图），它们相距 $25 \sqrt{6}$ 海里．现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测得知D点位于A点北偏东 $45^{\circ}$ ， B点北偏西 $75^{\circ}$ ，这时位于B点南偏西 $45^{\circ}$ 且与B相距80海里的C点有一救援船，其航行速度为35海里/小时．

(1)、求B点到D点的距离BD；

(2)、若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．

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12、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 3), \vec{b} = (2, x), \vec{c} = (- 3, x + 5)$ ．

(1)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，求 $|\vec{b}|$ ；

(2)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{c}$ ，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．

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13、已知 $\tan α = 3$ ．

(1)、求 $\frac{3 \cos (π + α) + \cos (\frac{π}{2} + α)}{\sin (3 π - α) - \cos (- α)}$ 的值．

(2)、求 $3 \sin^{2} α - \cos^{2} α$ 的值；

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14、如图，在扇形OAB中，半径 $O A = 1$ ，圆心角 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ， F是扇形弧上的动点，矩形CDEF内接于扇形，设 $∠ F O A = α$ ，则矩形CDEF的面积的最大值为．

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15、已知 $α, β \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $\sin β = \frac{3}{5}$ ， $\cos (α + β) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则 $\sin α =$ ．

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16、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 $a = \sqrt{19}$ ， $c = 3$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $b =$ .

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17、设i为虚数单位，计算 $| 2 + i | =$ ．

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18、“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是 $△ A B C$ 内一点， $△ B M C$ ， $△ A M C$ ， $△ A M B$ 的面积分别为 $S_{A}$ ， $S_{B}$ ， $S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{M A} + S_{B} \cdot \vec{M B} + S_{C} \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ ．以下命题正确的有（）

A、若 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 1 : 1 : 1$ ，则M为 $△ A M C$ 的重心 B、若M为 $△ A B C$ 的内心，则 $B C \cdot \vec{M A} + A C \cdot \vec{M B} + A B \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ C、若 $∠ B A C = 45 °$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， M为 $△ A B C$ 的外心，则 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = \sqrt{3} : 2 : 1$ D、若M为 $△ A B C$ 的垂心， $3 \vec{M A} + 4 \vec{M B} + 5 \vec{M C} = \vec{0}$ ，则 $\cos ∠ A M B = - \frac{\sqrt{6}}{6}$

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19、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题是真命题的是（）

A、若 $a \cos B = b \cos A$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $B = \frac{π}{4}$ ， $c = \sqrt{2}$ ， $b = \frac{6}{5}$ ，则 $△ A B C$ 只有一解 C、若 $b \cos A + (a - 2 c) \cos B = 0$ ，则 $B = \frac{π}{3}$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\sin A > \cos B$

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20、已知曲线 $C_{1} : y = 2 \sin x$ ， $C_{2} : y = 2 \sin (\frac{x}{3} + \frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是

A、把 $C_{1}$ 上所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所有图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{3}$ 倍（纵坐标不变），得到曲线 $C_{2}$ B、把 $C_{1}$ 上所有点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到曲线 $C_{2}$ C、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{3}$ 倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ D、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$

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