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相关试卷

1、一个顶点为 $P$ ，底面中心为 $O$ 的圆锥体积为1，若正四棱锥 $O - A B C D$ 内接于该圆锥，平面 $A B C D$ 与该圆锥底面平行， $A, B, C, D$ 这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥 $O - A B C D$ 的体积的最大值是（）

A、 $π$ B、 $\frac{8}{21 π}$ C、 $\frac{8}{π}$ D、 $\frac{8}{27 π}$

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2、设 $△ A B C$ 的内心为 $I$ ，而且满足 $3 \vec{I A} + 5 \vec{I B} + 6 \vec{I C} = \vec{0}$ ，则 $cos ∠ A B C$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{5}{9}$

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3、设 $a, b$ 为实数，则“ $a \geq b$ ”是“ $a m^{2} \geq b m^{2}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为 $T$ （单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为 $T_{1}, T_{2}$ ．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的 $\frac{1}{8}$ ，则 $T_{1}, T_{2}$ 满足的关系式为（）

A、 $3 + \frac{512}{T_{1}} = \frac{512}{T_{2}}$ B、 $2 + \frac{512}{T_{1}} = \frac{512}{T_{2}}$ C、 $- 2 + {log}_{2} \frac{512}{T_{1}} = {log}_{2} \frac{512}{T_{2}}$ D、 $2 + {log}_{2} \frac{512}{T_{1}} = {log}_{2} \frac{512}{T_{2}}$

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5、若 $m$ 满足 $2^{2^{m}} = 4^{4^{m}}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $- 1$ D、 $0$

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6、用平面 $α$ 截一个球，所得的截面面积为 $4 π$ ，若 $α$ 到该球球心的距离为 $\sqrt{5}$ ，则球的体积（）

A、 $27 π$ B、 $81 π$ C、 $36 π$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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7、已知向量 $\vec{a} = (- 6, t)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数 $t$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $- 12$ C、 $- 3$ D、 $2$

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8、甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，则甲以4比2获胜的概率为（）

A、 $\frac{1}{54}$ B、 $\frac{10}{729}$ C、 $\frac{40}{243}$ D、 $\frac{160}{729}$

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9、已知 $α, β$ 为钝角，且 $cos α = \frac{- 2 \sqrt{5}}{5}$ ， $sin β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{5 π}{4}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{4}$

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10、已知函数 $y = ln (x^{2} - 3 x + 2)$ 的定义域为集合 $A$ ，值域为集合 $B$ ，则 $∁_{B} A =$ （）

A、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 1]\cup[2, + \infty)$ C、 $(1, 2)$ D、 $[1, 2]$

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11、已知 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a} + 2 \vec{b}| = 4 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{a}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{b}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{12} \vec{a}$

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12、已知 $\frac{z - i}{z} = 3 + i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 构成的三面角 $P - A B C$ ， $∠ A P C = α$ ， $∠ B P C = β$ ， $∠ A P B = γ$ ，二面角 $A - P C - B$ 的大小为 $θ$ ，则 $cos γ = cos α cos β + sin α sin β cos θ$ .

(1)、如图2，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A_{1} A C = 60^{\circ}$ ， $∠ B A C = 45^{\circ}$ ，求 $∠ A_{1} A B$ 的余弦值；

(2)、当 $α 、 β \in (0, \frac{π}{2})$ 时，证明以上三面角余弦定理；

(3)、如图3，斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中侧面 $A B B_{1} A_{1}$ ， $B C C_{1} B_{1}$ ， $A C C_{1} A_{1}$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，记二面角 $A - C C_{1} - B$ ，二面角 $B - A A_{1} - C$ ，二面角 $C - B B_{1} - A$ 的大小分别为 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ ， $θ_{3}$ ，试猜想正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明.

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $cos \frac{A}{2} (\sqrt{3} sin \frac{A}{2} - cos \frac{A}{2}) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、 $D$ 为边 $B C$ 上一点， $D A ⊥ B A$ ，且 $B D = 4 D C$ ，求 $cos C$ .

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15、某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按 $[30.40)$ ， $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90]$ 分成6组，并整理得到如图所示频率分布直方图.

(1)、求图中 $a$ 的值；

(2)、请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)、该市决定表彰知识竞赛成绩排名前 $30 %$ 的市民，某市民知识竞赛的成绩是78，请估计该市民能否得到表彰.

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16、已知复数 $z_{1} = a + 2 i, z_{2} = b + i$ （ $a, b \in R, i$ 为虚数单位）.

(1)、若 $b = 2, z_{1} \cdot z_{2}$ 是纯虚数，求 $|z_{1} - z_{2}|$ 的值；

(2)、若 $z_{1} = {(z_{2})}^{2}$ ，求实数 $a, b$ 的值.

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17、如图所示，直角三角形 $A B C$ 所在平面垂直于平面 $α$ ，一条直角边 $A C$ 在平面 $α$ 内，另一条直角边 $B C$ 长为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 且 $∠ B A C = \frac{π}{6}$ ，若平面 $α$ 上存在点 $P$ ，使得 $△ A B P$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则线段 $C P$ 长度的最小值为．

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18、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $N$ 为 $A B$ 中点， $M$ 为 $B B_{1}$ 中点，则异面直线 $D N$ 与 $C M$ 所成角的余弦值为.

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19、已知样本数据为1，a，b，7，9，且a、b是方程 $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ 的两根，则这组样本数据的方差是.

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20、如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中， $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若 $\vec{B P} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则（）

A、 $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ B、 $x + y$ 的最大值为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\vec{B P} \cdot \vec{B C}$ 最大值为9 D、 $\vec{B O} \cdot \vec{D O} = \frac{1}{2}$

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