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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，其中 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 不全为0，并约定 $a_{n + 1} = 0$ ，设 $b_{k} = (k + 1) a_{k + 1} - a_{k}$ ，称 $g (x) = b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{n} x^{n}$ 为 $f (x)$ 的“伴生函数”．

(1)、若 $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ ，求 $g (x)$ ；

(2)、若 $f (x) > 0$ 恒成立，且曲线 $y = ln f (x) (x > 0)$ 上任意一点处的切线斜率均不小于2，证明：当 $x > 0$ 时， $g (x) \geq f (x)$ ；

(3)、若 $a_{0} = 0$ ，证明：对于任意的 $m \in (0, + \infty)$ ，均存在 $t \in (0, m)$ ，使得 $g (t) < \frac{f (m)}{m}$ ．

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2、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面ABC⊥平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形， $A C = 2$ ， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ，底面ABC为等腰三角形， $A B = B C$ ， O是AC的中点．

(1)、证明：平面 $O A_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若平面 $A O B_{1}$ 与平面 $O B_{1} C_{1}$ 的夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ ，求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积．

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3、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{2} + a_{7} = 40, S_{5} = 70$ .

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$

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4、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$ $(x \in R)$ ．

(1)、求 $f (\frac{2 π}{3})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间．

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5、若点 $P$ ， $Q$ 关于原点对称，且均在函数 $y = f (x)$ 的图象上，则称 $(P, Q)$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个“匹配点对”（点对 $(P, Q)$ 与 $(Q, P)$ 视为同一个“匹配点对”）.已知 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{l n x}{x}, x > 0 \\ \frac{a}{x^{2}}, x < 0 \end{matrix}$ 恰有两个“匹配点对”，则 $a$ 的取值范围是.

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6、已知等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $b_{5} = 3 a_{2}$ ， $b_{2} \cdot b_{4} = a_{5}$ ，若 $c_{n} = b_{a_{n}}$ ，则数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为.

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7、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，且 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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8、已知定义域为R的可导函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，若函数 $y = f (x)$ 为偶函数，且 $f (1 + x) = - f (1 - x)$ ，设 $g (x) = \{\begin{matrix} (x - 1) f (x) + x (x \geq 0) \\ f (x + 2) + x^{2} (x < 0) \end{matrix}$ ，则（）

A、 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2023) = 0$ B、 $f^{'} (1) + f^{'} (2) + f^{'} (3) + \dots + f^{'} (2023) = 0$ C、 $g^{'} (3) - 2 g^{'} (- 3) = 13$ D、函数 $y = g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = x$

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9、下列命题正确的是（）

A、若数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 均为等差数列，则数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 为等差数列 B、若数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 是公比相同的等比数列，则数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 为等比数列 C、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，则数列 ${2^{a_{n}}}$ 为等比数列 D、存在非零实数 $λ$ 使得数列 ${\frac{1}{2^{n} + λ}}$ 为等比数列

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10、将函数 $y = \sin x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 关于直线 $x = \frac{5 π}{6}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的所有非负零点组成的递增数列 ${x_{n}}$ 是首项为 $\frac{π}{12}$ ，公差为 $\frac{π}{2}$ 的等差数列

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11、已知正数 $a, b$ 满足等式 $a^{2} - b = 2 (2 ln b - ln a)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $0 < b < 1$ ，则 $a > b$ B、若 $b > 1$ ，则 $a > b$ C、若 $0 < a < 1$ ，则 $a < b^{2}$ D、若 $a > 1$ ，则 $a < b^{2}$

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12、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $\frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan C} = \frac{3}{b c \cdot \sin A}$ ，且 $△ A B C$ 的外接圆面积为 $π$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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13、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \sin^{2} x$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[θ, \frac{π}{3}]$ 上是单调函数，则实数 $θ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ B、 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{3})$ C、 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{3})$ D、 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3})$

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14、如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点， $\vec{A B} = 3 \vec{A E}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{C E} =$ （）

A、 $2$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{4}{3}$

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15、已知向量 $\vec{a} = (\cos θ, \sin θ)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\frac{\sin θ + \cos θ}{\sin θ + 3 \cos θ}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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16、已知复数 $z = \frac{1 + i}{a + i}$ （其中a为实数，i为虚数单位），若 $| z | = \sqrt{2}$ ，则 $z =$ （）

A、 $\sqrt{2} i$ B、 $1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- \sqrt{2} i$

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17、已知集合 $M = {x | x (x - 1) < 0}$ ， $N = {x | - 1 < x < 1}$ ，则（）

A、 $M \cap N = \emptyset$ B、 $M \cap N = N$ C、 $M \cup N = M$ D、 $M \cup N = N$

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18、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角 $A - E F - C$ 的大小为60°，点M在线段AB上.

(1)、若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线 $O D / /$ 平面EMC；

(2)、是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角 $M - E C - F$ 的余弦值，若不存在，说明理由.

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19、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，若 $\vec{A E} = \vec{A A_{1}} + x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，（x， $y \in R$ ）则x，y的值分别为（）

A、1，1 B、1， $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$ ， 1

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20、已知 $f (x) = x + \frac{a}{x} + 2$ ， $x \in [1, + \infty)$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，用单调性定义证明函数 $y = f (x)$ 的单调性，并求出函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(2)、若对任意 $x \in [1, + \infty)$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，试求实数 $a$ 的取值范围；

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