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相关试卷

1、已知 $f (x) = a x^{3} + (b - 2) x^{2} + \sqrt{2} a$ ，当 $x \in [1, 2]$ 时， $| f (x) | \leq x^{2}$ 恒成立，则b的最大值为（）

A、 $6 \sqrt{2} + 9$ B、 $9 \sqrt{2} + 9$ C、 $9 \sqrt{2} + 12$ D、 $15 \sqrt{2} + 15$

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2、已知a、b、c、d均为正数，且 $a d = b c$ ．

(1)、证明：若 $a + d > b + c$ ，则 $| a - d | > | b - c |$ ；

(2)、若 $t \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot \sqrt{c^{2} + d^{2}} = \sqrt{a^{4} + c^{4}} + \sqrt{b {}_{4}+ d^{4}}$ ，求实数 t 的取值范围．

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3、对 $x, y$ 定义一种新运算 $T$ ，规定： $T (x, y) = \frac{a x + b y}{2 x + y}$ （其中 $a, b$ 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： $T (0, 1) = \frac{a \times 0 + b \times 1}{2 \times 0 + 1} = b$ ，已知 $T (1, - 1) = - 2, T (4, 2) = 1$ ，若关于 $m$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} T (2 m, 5 - 4 m) \leq 4 \\ T (m, 3 - 2 m) > P \end{array}$ 恰好有3个整数解，则实数 $P$ 的取值范围是.

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4、下列命题是真命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{3} > b^{3}$ C、若 $l n a > l n b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a + 2 b = 2$ ，则 $2^{a} + 4^{b} \geq 4$

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5、我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ ，则（）
附：椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ .

A、 $θ_{1} < θ_{2}$ B、 $θ_{1} = θ_{2}$ C、 $θ_{1} > θ_{2}$ D、 $θ_{1}$ 和 $θ_{2}$ 的大小关系无法确定

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6、已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a + b + c = 0$ ．

(1)、若 $a < b < 0$ ，求证： $\frac{b}{a - c} < \frac{a}{b - c}$ ；

(2)、若 $a < 0, b < 0$ ， $a b c = 1$ ，求 $c$ 的最小值．

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7、

(1)、已知 $- 1 < x < 4, 2 < y < 3$ ，求 $x - y$ 的取值范围.

(2)、比较 $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ 与 $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ 的大小，其中 $x \in R$ .

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8、 $x - y ≤ 0$ ， $x + y - 1 \geq 0$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最小值是.

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9、请写出一个幂函数 $f (x)$ 满足以下条件：①定义域为 $[0, + \infty)$ ；② $f (x)$ 为增函数；③对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0, + \infty)$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则 $f (x) =$ ．

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10、已知a ， b∈R ，给出下面三个论断：①a＞b；② $\frac{1}{a}$ ＜ $\frac{1}{b}$ ；③a＜0且b＜0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．

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11、下列命题正确的是（）

A、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $a c^{2} < b c^{2}$ C、若 $0 < a < b < c$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ D、若 $0 < a < b$ ，则 $2 a + \frac{b}{2} > 2 \sqrt{a b}$

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12、已知 $a = 0 . 4^{0.3}$ ， $b = 0 . 3^{0.3}$ ， $c = 0 . 3^{0.4}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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13、将椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上所有点的横坐标伸长为原来的 $m (m > 1)$ 倍，纵坐标伸长为原来的 $n (n > 1)$ 倍得到椭圆 $C_{2}$ ，设 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m < n$ ，则 $e_{2} < e_{1}$ B、若 $m > n$ ，则 $e_{2} > e_{1}$ C、若 $e_{2} > e_{1}$ ，则 $m > n$ D、若 $e_{2} = e_{1}$ ，则 $m = n$

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14、设 $a = t - \frac{1}{t}, b = t + \frac{1}{t}, c = t (2 + t)$ ，其中 $- 1 < t < 0$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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15、 $a \geq b$ 是 $a m^{2} \geq b m^{2}$ 的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知 $x > 0, y > 0$ ，若 $\sqrt{4 x^{2} + 3 x y + y^{2}} + m \sqrt{x y} > 2 x + y$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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17、设实数 $a, b$ 满足 $1 \leq a b \leq 4, 4 \leq \frac{a}{b} \leq 9$ ，则（）

A、 $2 \leq | a | \leq 6$ B、 $1 \leq | b | \leq 3$ C、 $4 \leq a^{3} b \leq 144$ D、 $1 \leq a b^{3} \leq 4$

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18、设实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足， $a^{2} + b^{2} \leq c \leq 1$ 则 $a + b + c$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} - 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- 1$

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19、目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个 $n$ 级火箭，在第 $n$ 级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为 $v = 3 l n \frac{1 0^{n} a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}}{(9 + a_{1}) (9 + a_{2}) ⋯ (9 + a_{n})}$ ，
其中 $a_{i} = \frac{m_{p} + \sum_{j = i}^{n} m_{j}}{m_{p} + \sum_{j = i}^{n} m_{j} - m_{i}} (i = 1, 2, ⋯, n)$ ．
注： $m_{p}$ 表示人造天体质量， $m_{j}$ 表示第 $j$ （ $j = 1, 2, ⋯, n$ ）级火箭结构和燃料的总质量．
给出下列三个结论：
① $a_{1} a_{2} ⋯ a_{n} < 1$ ；
②当 $n = 1$ 时， $v < 3 l n 10$ ；
③当 $n = 2$ 时，若 $v = 12 l n 2$ ，则 $\sqrt{a_{1} a_{2}} ≥ 6$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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20、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a \geq \frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ ， $b \geq \frac{1}{b} + \frac{2}{a}$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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