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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ B、 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ D、 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$

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2、已知复数 $z$ 满足 $i z = 1 - i$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $- i$

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A ､ B ､ C$ 所对的边分别是 $a ､ b ､ c$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上且 $B D = D C$ .已知边 $c = 2, A = \frac{π}{3}$ 且 $2 c sin A cos B = a sin A - b sin B + b sin C$ .

(1)、求边 $b$ 的长度；

(2)、若点 $E ､ F$ 分别为线段 $A B$ ､线段 $A C$ 上的动点，且线段 $E F$ 交 $A D$ 于 $G$ 且 $△ A E F$ 的面积为 $△ A B C$ 面积的一半，求 $\vec{A G} \cdot \vec{E F}$ 的最小值.

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4、如图，已知四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $E$ 为侧棱 $S C$ 的中点.

(1)、求证： $S A$ ∥平面 $E D B$ ；

(2)、已知 $F$ 为棱 $A B$ 上的点，若 $E F$ ∥平面 $S A D$ ，求证： $F$ 是 $A B$ 的中点.

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5、已知向量 $\vec{a} = （ \cos θ, \sin θ ）, \vec{b} = （ \sqrt{3}, - 1 ）$ .

(1)、当 $θ = \frac{π}{6}$ 时，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值.

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6、如图所示，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，其中 $A D ⊥ A B$ ， $A D / / B C$ ，若将图中阴影部分绕 $A B$ 旋转一周.
（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.
（2）求阴影部分形成的几何体的体积.

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7、已知复数 $z = a + 2 i (a \in R)$ ，且 $z (2 - i)$ 是纯虚数．

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、若复数 ${(z - m i)}^{2} (m \in R)$ 在复平面内对应的点在第四象限，求 $m$ 的取值范围．

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8、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的遗产”，若要测量如图所示某蓝洞口边缘 $A$ ， $B$ 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 $C$ ， $D$ ，测得 $C D = 8$ 海里， $∠ A D B = 135 °$ ， $∠ B D C$ $= ∠ D C A = 15 °$ ， $∠ A C B = 120 °$ ，则 $A$ ， $B$ 两点的距离为海里.

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9、已知水平放置的 $△ A B C$ 是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中 $B^{'} O^{'} = C^{'} O^{'} = 1$ ， $∠ B^{'} A^{'} C^{'} = 90 °$ ， $A^{'} O^{'} =$ ，则原 $△ A B C$ 的面积为.

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10、复数 $z$ 满足 $z = \frac{2}{1 - i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $|z| =$ .

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11、若 $\overset{⃑}{O A} = (- 1, 2), \overset{⃑}{O B} = (1, - 1)$ ，则 $\overset{⃑}{A B} =$ ．

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12、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $E_{1}, F_{1}$ 分别为 $A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $B E_{1} / / C F_{1}$ B、 $D F_{1} / /$ 平面 $A E_{1} B$ C、 $V_{B - A F_{1} C} = \frac{1}{6} V_{A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}$ D、若正方体的棱长为2，则三棱锥 $B - A F_{1} C$ 的表面积为 $2 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{2}$

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13、已知正三角形 $A B C$ 的边长为 $6, D, E$ 为边 $A C$ 上两点，且 $\vec{A D} = \vec{D E} = \vec{E C}, F$ 为边 $A B$ 上一点，且 $\vec{A F} = \vec{F B}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B C} + \frac{2}{3} \vec{B A}$ B、 $\vec{B E} = \frac{2}{3} \vec{B C} + \frac{1}{3} \vec{A B}$ C、 $\vec{B D} \cdot \vec{B E} = 24$ D、 $\vec{F C}$ 与 $\vec{B D} + \vec{B E}$ 的夹角为 $60 °$

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14、在 $△ A B C$ 中，已知 $(b + c) : (c + a) : (a + b) = 4 : 5 : 6$ ，下列结论正确是（）

A、 $\sin A : \sin B : \sin C = 7 : 5 : 3$ ； B、 $C = \frac{5 π}{6}$ C、 $△ A B C$ 一定是钝角三角形； D、若 $b + c = 8$ ，则 $△ A B C$ 的面积是 $\frac{15 \sqrt{3}}{2}$ ．

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15、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为 $D D_{1}$ 的中点，则下列直线中与直线 $C_{1} M$ 是异面直线的有（）

A、 $D D_{1}$ B、 $C C_{1}$ C、 $B D_{1}$ D、 $C A_{1}$

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16、伟大的科学家阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面，则图案中圆锥、球，圆柱的体积比为（）

A、 $1 : 2 : 3$ B、 $1 : \sqrt{2} : \sqrt{3}$ C、 $1 : \sqrt{2} : 3$ D、 $2 : 3 : 6$

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $c = 4$ ，则 $\frac{\sin 2 C}{\sin A} =$ （）

A、1 B、-1 C、-2 D、2

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18、下列命题中，真命题为（）

A、若两个平面 $α / / β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a$ ∥ $b$ ； B、若两个平面 $α / / β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a$ 与b平行或异面； C、若两个平面 $α / / β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则 $a$ 与b是异面直线； D、若两个平面 $α \cap β = b$ ， $a \subset α$ ，则 $a$ 与 $β$ 一定相交．

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19、已知向量 $\vec{A B} = (- 1, 2)$ ， $\vec{B C} = (4, - 1)$ ，则向量 $\vec{A C}$ 在向量 $\vec{A B}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(\frac{2}{5}, - \frac{1}{5})$ B、 $(- \frac{2}{5}, \frac{1}{5})$ C、 $(- \frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ D、 $(\frac{1}{5}, - \frac{2}{5})$

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20、在 $△ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，则角 $B$ 的值为（）

A、 $45 °$ B、 $45 °$ 或 $135 °$ C、 $90 °$ D、 $135 °$

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