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相关试卷

1、已知关于 $x$ 的方程 $|a x + 3| = - a x^{2} - 6 x - a$ 有两个不相等的实数解，则正实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 3)$ B、 $(0, \frac{9}{2})$ C、 $[1, 5)$ D、 $[2, 6 \sqrt{3})$

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2、已知矩形 $A B C D$ 的两个顶点 $A, D$ 在 $x$ 轴上，另两个顶点 $B, C$ 在函数 $y = 4 - x^{2} (- 2 < x < 2)$ 的图象上，则当矩形 $A B C D$ 的面积最大时， $|A B| =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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3、设 $a, b \in R$ ，则使 $a > b$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $a^{3} > b^{3}$ B、 $lg (a - b) > 0$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $|a| > b$

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4、设函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{- x}, x \leq 0 \\ {log}_{\frac{1}{3}} x, x > 0 \end{cases}$ ，若 $f (t) > 2$ ，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (0, \frac{1}{9})$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{1}{9}, 1)$ C、 $(- 1, \frac{1}{9})$ D、 $(- \infty, \frac{1}{9})$

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5、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 不是偶函数，则（）

A、 $\forall x \in R, f (- x) + f (x) \neq 0$ B、 $\forall x \in R, f (- x) - f (x) \neq 0$ C、 $\exists x_{0} \in R, f (- x_{0}) + f (x_{0}) \neq 0$ D、 $\exists x_{0} \in R, f (- x_{0}) - f (x_{0}) \neq 0$

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6、已知 $\frac{π}{4} < α < β < \frac{π}{2}$ ，则 $2 α - 2 β$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ B、 $(- \frac{π}{2}, 0)$ C、 $(- π, π)$ D、 $(- π, 0)$

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7、已知集合 $A = \{x \in Z |- 5 < x^{3} < 10\}, B = \{x |y = ln (x + 1)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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8、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} cos (2 x + \frac{5 π}{4})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(\frac{3}{8} π, 0)$ B、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度后得到的是奇函数的图象 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{5 π}{8}, \frac{7 π}{8}]$ 上单调递增 D、若 $y = f (x)$ 在区间 $(0, m)$ 上与 $y = 1$ 有且只有6个交点，则 $m \in (\frac{5 π}{2}, \frac{13 π}{4}]$

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9、若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = - 3 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $|z|$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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10、若 $a + 2 \in \{1, 3, a^{2}\}$ ，则a的值为（）

A、 $- 1$ 或1或2 B、 $- 1$ 或1 C、 $- 1$ 或2 D、2

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11、已知函数 $f (x) = x \ln x + k x, k \in R$ .
（1）求 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
（2）若不等式 $f (x) \leq x^{2} + x$ 恒成立，求k的取值范围；
（3）求证：当 $n \in N^{*}$ 时，不等式 $\sum_{i = 1}^{n} \ln (4 i^{2} - 1) > \frac{2 n^{2} - n}{2 n + 1}$ 成立.

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12、已知函数 $f (x) = e^{x} (x + 1)$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的极值；
（2）若函数 $g (x) = f (x) - 3 e^{x} - m$ 有两个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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13、在公差为2的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + 1$ ， $a_{2} + 2$ ， $a_{3} + 4$ 成等比数列.
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{a_{n} - 2^{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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14、二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的时间观念，科学揭示天文气象变化规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀，体现着我国古代劳动人民的智慧其中四句“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，则这2个节气恰好不在一个季节的概率为．

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15、 ${(1 + x)}^{5} {(1 - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中的 $x$ 项的系数等于____________ .

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16、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ，且 $f (x + y) f (x - y) = f^{2} (x) - f^{2} (y), f (1) = 2, f (2) = 0$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (3) = - 2$ C、 $f (- 1) = f (5)$ D、 $\sum_{k = 2}^{2024} f (k) = - 2$

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17、十六世纪中叶，英国数学加雷科德在《砺智石》一书中先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若 $a > 0, b > 0$ ，则下面结论正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} = 4$ ，则 $a + b$ 有最小值 $\frac{9}{4}$ C、若 $a b + b^{2} = 2$ ，则 $a + b \geq 4$ D、若 $a + b = 2$ ，则 $a b$ 有最大值2

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18、如图1为某省2019年1~4月份快递业务量统计图，图2为该省2019年1~4月份快递业务收入统计图，对统计图理解不正确的是（）

A、2019年1~4月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2000万件 B、从1~4月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长 C、从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务收入变化高度一致 D、2019年1~4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节后网购迎来喷涨有关

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19、设等比数列{a_n}的前n项和是S_n ， a₂＝﹣2，a₅＝﹣16，则S₆＝（　　）

A、﹣63 B、63 C、﹣31 D、31

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20、微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0), f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的图像连续不断，从几何上看，定积分 $\int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x$ 便是由直线 $x = a, x = b, y = 0$ 和曲线 $y = \frac{1}{x}$ 所围成的区域（称为曲边梯形 $A B Q P$ ）的面积，根据微积分基本定理可得 $\int_{a}^{b} \frac{1}{x} d x = \ln b - \ln a$ ，因为曲边梯形 $A B Q P$ 的面积小于梯形 $A B Q P$ 的面积，即 $S_{曲边梯形 A B Q P} < S_{梯形 A B Q P}$ ，代入数据，进一步可以推导出不等式： $\frac{a - b}{ln a - ln b} > \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ ．

(1)、请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明： $\frac{a - b}{ln a - ln b} < \frac{a + b}{2}$ ；

(2)、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + x ln x$ ，其中 $a, b \in R$ ．
①证明：对任意两个不相等的正数 $x_{1}, x_{2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 和 $(x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线均不重合；
②当 $b = - 1$ 时，若不等式 $f (x) \geq 2 sin (x - 1)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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