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相关试卷

1、如果定义域为 $[0, 1]$ 的函数 $f (x)$ 同时满足以下三个条件：（1）对任意的 $x \in [0, 1]$ ，总有 $f (x) \geq 0$ ；（2） $f (1) = 1$ ；（3）当 $x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0$ ，且 $x_{1} + x_{2} \leq 1$ 时， $f (x_{1} + x_{2}) \geq f (x_{1}) + f (x_{2})$ 恒成立.则称 $f (x)$ 为“友谊函数”.请解答下列问题：

(1)、已知 $f (x)$ 为“友谊函数”，求 $f (0)$ 的值；

(2)、判断函数 $g (x) = 3^{x} - x - 1 (x \in [0, 1])$ 是否为“友谊函数”？并说明理由；

(3)、已知 $f (x)$ 为“友谊函数”，存在 $x_{0} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{0}) \in [0, 1]$ ，且 $f (f (x_{0})) = x_{0}$ ，证明： $f (x_{0}) = x_{0}$ .

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2、设函数 $f (x) = ln x, g (x) = 1 - \frac{1}{x} (x > 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、证明： $f (x) \geq g (x)$ ：

(3)、若方程 $a f (x) = g (x)$ 有两个实根，求实数 $a$ 的取值范围，

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3、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 4, c = 3 b$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，内切圆半径为 $r$ ，外接圆半径为 $R$ .

(1)、若 $b = \sqrt{2}$ ，求 $sin A$ ；

(2)、记 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ，证明： $r = \frac{S}{p}$ ；

(3)、求 $r R$ 的取值范围：

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 S_{n} = 4^{n + 1} - 4 (n \in N_{+})$ .

(1)、证明：数列 $\{{log}_{2} a_{n}\}$ 为等差数列；

(2)、记数列 $\{{log}_{2} a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $\frac{1}{T_{1}} + \frac{1}{T_{2}} + \frac{1}{T_{3}} + \dots + \frac{1}{T_{n}} < \frac{100}{101}$ ，求满足条件的最大整数 $n$ .

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5、已知角 $α$ 的顶点与原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边过点 $P (4, - 3)$ .

(1)、求 $sin 2 α$ 的值；

(2)、若角 $β$ 满足 $sin (α + β) = \frac{5}{13}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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6、已知 $a > 0, b \neq 0$ ，且 $a + |b| = 4$ ，则 $\frac{4}{a} + \frac{b + 8}{|b|}$ 的最小值为.

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7、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = sin x (1 + cos x)$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x) =$ .

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8、函数 $f (x) = x \cdot \ln x$ 的单调递减区间为．

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9、已知 $f_{n} (x) = {sin}^{2 n} x + {cos}^{2 n} x (n \in N_{+})$ ，则（）

A、 $f_{2} (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f_{2} (x)$ 的图象关于点 $(\frac{k}{2} + \frac{π}{8}, 0) (k \in Z)$ 对称 C、 $f_{n} (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $\frac{1}{2^{n - 1}} \leq f_{n} (x) \leq 1$

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10、在 $△ A B C$ 中， $A B = 1$ ， $A C = 4$ ， $B C = \sqrt{13}$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线，点 $E$ 为 $A C$ 中点，则（）

A、 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ B、 $\vec{B A} \cdot \vec{C A} = 2 \sqrt{3}$ C、 $B E = \sqrt{3}$ D、 $A D = \frac{4 \sqrt{3}}{5}$

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11、若函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处取得极大值，则（）

A、 $c = 1$ ，或 $c = 3$ B、 $x f (x + 1) < 0$ 的解集为 $(- 1, 0)$ C、当 $0 < x < \frac{π}{2}$ 时， $f (cos x) > f ({cos}^{2} x)$ D、 $f (2 + x) + f (2 - x) = 4$

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12、已知各项都为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 2$ ， $a_{n}^{2} - a_{n - 1}^{2} - a_{n} a_{n - 2} > a_{n - 1} a_{n - 2} (n \geq 3, n \in N_{+})$ ，则下列结论中一定正确的是（）

A、 $a_{8} > 124$ B、 $a_{20} > 1024$ C、 $a_{8} < 124$ D、 $a_{20} < 1204$

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13、金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度 $h$ 与其来摘后时间 $t$ （天）满足的函数解析式为 $h = m ln (t + a) (a > 0)$ .若采摘后 $1$ 天，金针菇失去的新鲜度为 $40 %$ ；若采摘后 $3$ 天，金针菇失去的新鲜度为 $80 %$ .现在金针菇失去的新鲜度为 $60 %$ ，则采摘后的天数为（）（结果保留一位小数， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

A、 $1.5$ B、 $1.8$ C、 $2.0$ D、 $2.1$

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14、在正方形 $A B C D$ 中， $\vec{A E} = \vec{E B}, \vec{F C} = 2 \vec{B F}, A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ，则 $cos ∠ E M F =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{1}{10}$

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15、下列函数中，以 $π$ 为周期，且在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = sin |x|$ B、 $y = cos |x|$ C、 $y = |tan x|$ D、 $y = |cos x|$

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x} + e^{- x}, x \leq 2, \\ f (\frac{x}{3}), x > 2, \end{array}$ 则 $f (ln 27) =$ （）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、 $\frac{728}{27}$ D、 $\frac{730}{27}$

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17、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$ B、若 $a > b > 0, c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ C、 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ D、若 $a > b$ ，则 $a > \frac{a + b}{2} > b$

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18、设 $m, n \in R$ ，则“ ${(m + 1)}^{3} = n^{3}$ ”是“ $2^{m} < 2^{n}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件

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19、已知集合 $A = \{x \in N ∣ 0 \leq x^{2} \leq 9\}, B = \{x \in N ∣ 0 \leq x \leq 10\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x ∣ 0 \leq x \leq 9\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{x ∣ 0 \leq x \leq 3\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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20、已知 $a_{n} > 0$ ， $b_{n} = n^{2} + n$ ，函数 $f_{n} (x) = e^{x} - x + \ln a_{n} - a_{n}$ .

(1)、若 $f_{n} (x) \geq 0$ ，求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $\frac{2 b_{n}}{2 b_{n} - 1} < a_{n} < \frac{b_{n} + 1}{b_{n}}$ .记M为 $f_{1} (x), f_{2} (x), \cdot \cdot \cdot, f_{n} (x)$ 的所有零点组成的集合， $X, Y$ 为M的子集，它们各有n个元素，且 $X \cap Y = \emptyset$ .设. $x_{i} \in X, y_{i} \in Y, i = 1, 2, \dots, n$ ，且 $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n}, y_{1} > y_{2} > \dots > y_{n}$ .证明： $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} + 1) (y_{i} + 1) < n$ .

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