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相关试卷

1、已知公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $\{\begin{cases} a_{1011} + \sin a_{1011} = 1 \\ a_{1013} + \sin (a_{1013} - 2) = 1 \end{cases}$ ，则（）

A、 $S_{2023} = 2023$ ， $d < 1$ B、 $S_{2023} = 2023$ ， $d > 1$ C、 $S_{2023} = - 2023$ ， $d \leq 1$ D、 $S_{2023} = - 2023$ ， $d \geq 1$

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2、若 $\tan 2 α = 3 \tan (α - β)$ ，则 $\tan (α + β)$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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3、在 $△ A B C$ 中，“ $0 < \cos A \cos B < \sin A \sin B$ ”是“ $△ A B C$ 为锐角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布 $N (72, 8^{2})$ ，则80分以上的人数大约是（）
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$

A、3173 B、6346 C、6827 D、13654

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5、若 $(1 + x) {(2 - x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} + a_{3} + a_{5} =$ （）

A、 $- 1$ B、2 C、1 D、0

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6、已知 $a = \log_{3} 0.3$ ， $b = 3^{0.3}$ ， $c = {0.3}^{3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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7、 $\frac{2 i}{1 + i} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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8、已知集合 $M = \{x ||x - 1| \leq 1\}$ ， $N = \{x |x > 2\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $\{x |x > 2\}$ B、 $\{x |x \leq 0\}$ C、 $\emptyset$ D、 $\{x |x \geq 0\}$

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9、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ ，点 $M (2, 1)$ ，直线 $l : y = k x + m (m \neq 0)$ 与双曲线C交于不同的两点 $A, B$ .

(1)、若 $△ M A B$ 的重心在直线 $x - 2 y = 0$ 上，求k的值；

(2)、若直线 $l$ 过双曲线C的右焦点F，且直线 $M A, M B$ 的斜率之积是 $- \frac{1}{2}$ ，求 $△ M A B$ 的面积.

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P A = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}, B C = 2, ∠ A B C = 30 °, M$ 为 $A D$ 中点.

(1)、求平面 $M P C$ 与平面 $A P C$ 夹角的余弦值；

(2)、设点N在直线 $C D$ 上，若 $△ N P B$ 的面积是 $\sqrt{5}$ ，求 $\frac{N C}{C D}$ 的值.

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11、已知 $S_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $a_{1} = 1$ 且 $S_{n} + S_{n + 1} = a_{n + 1}^{2}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{4 a_{n}^{2}}{(2 a_{n} - 1) (2 a_{n} + 1)}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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12、已知函数 $f (x) = a x \ln (1 + x) + x^{2} + x, a \in R$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个零点，求实数a的取值范围.

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13、已知圆 $M$ 经过点 $A (1, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C (0, 1)$ .

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、过点 $P (- 1, 1)$ 作直线 $l$ 与圆 $M$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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14、如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限（每个圆与相邻的圆外切或与坐标轴相切），若斜率为3的直线 $l$ 将8个圆分成面积相等的两部分，则直线 $l$ 的方程是.

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15、已知曲线 $C_{1} : y = e^{x}$ 和 $C_{2} : y^{2} = 4 x$ ，点 $P, Q$ 分别在曲线 $C_{1}, C_{2}$ 上，记点Q的横坐标为 $x_{Q}$ ，则 $| P Q | + x_{Q}$ 的最小值是.

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16、已知三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $15, M$ 是空间中一点， $\vec{P M} = - \frac{1}{15} \vec{P A} + \frac{2}{15} \vec{P B} + \frac{4}{15} \vec{P C}$ ，则三棱锥 $A - M B C$ 的体积是.

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17、已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 的上底面圆 $O_{1}$ 的半径为2，下底面圆 $O_{2}$ 的半径为6，圆台的体积为 $104 π$ ，且它的两个底面圆周都在球O的球面上，则 $\frac{O O_{1}}{O O_{2}} =$ .

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18、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{6} = 8$ ，则 $S_{7} =$ .

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19、已知直线 $l_{1} : x + y + 1 = 0$ 和 $l_{2} : 2 x + m y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $m =$ .

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20、生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型： $N (t) = \frac{K N_{0}}{N_{0} + (K - N_{0}) e^{- r t}}$ ，其中 $N_{0}, r, K$ 是正数， $N_{0}$ 表示初始时刻种群数量，r表示种群的内秉增长率，K表示环境容纳量， $N (t)$ 近似刻画t时刻的种群数量.下面判断正确的是（）

A、如果 $N_{0} = \frac{K}{3}$ ，那么存在 $t > 0, N (t) = 2 N_{0}$ B、如果 $0 < N_{0} < K$ ，那么对任意 $t > 0, N (t) < K$ C、如果 $0 < N_{0} < K$ ，那么存在 $t > 0, N (t)$ 在t点处的导数 $N^{'} (t) < 0$ D、如果 $0 < N_{0} < \frac{K}{2}$ ，那么 $N (t)$ 的导函数 $N^{'} (t)$ 在 $(0, + \infty)$ 上存在最大值

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