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相关试卷

1、已知 $θ$ 为第一象限角，且 $tan (θ + \frac{π}{3}) + tan θ = 0$ ，则 $\frac{1 - cos 2 θ}{1 + cos 2 θ} =$ （）

A、9 B、3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{9}$

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2、下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（）

A、 $y = x^{- 2}$ B、 $y = x + \frac{1}{x}$ C、 $y = x - sin x$ D、 $y = ln \frac{x - 1}{x + 1}$

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3、某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：
广告支出x/万元
2
5
8
11
15
19
利润y/万元
33
45
50
53
58
64
根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为 $\hat{y} = 1.65 x + \hat{a}$ ．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（）

A、30万元 B、32万元 C、36万元 D、40万元

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4、已知 $x > 0, y > 0$ ，且满足 $x + y = x y - 3$ ，则 $x y$ 的最小值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、6 D、9

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5、“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”，是“ $a > b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{x| {(x + 1)}^{2} \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0\}$ C、 $[- 2, 0]$ D、 $[- 2, 2]$

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7、已知正项有穷数列 $A : a_{1} ， a_{2} ， \dots ， a_{N} (N \geq 3)$ ，设 $T = \{x ∣ x = \frac{a_{j}}{a_{i}} ， 1 \leq i < j \leq N\}$ ，记 $T$ 的元素个数为 $P (T)$ .

(1)、若数列 $A : 1 ， 2 ， 4 ， 16$ ，求集合 $T$ ，并写出 $P (T)$ 的值；

(2)、若 $A$ 是递增数列或递减数列，求证： $^{u} P (T) = N - 1$ ”的充要条件是“ $A$ 为等比数列”；

(3)、若 $N = 2 n + 1$ ，数列 $A$ 由 $2 ， 4 ， 8 ， \dots ， 2^{n} ， 4^{n}$ 这 $n + 1$ 个数组成，且这 $n + 1$ 个数在数列 $A$ 中每个至少出现一次，求 $P (T)$ 的取值个数.

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8、已知函数 $f (x) = a x ln x - x^{3} - 1$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $0 \leq a \leq 3$ ，求证： $f (x) < 0$ ；

(3)、若 $h (x) = \frac{f (x) + x^{3} + 1}{a} ， \exists x_{1} \neq x_{2}$ 使得 $h (x_{1}) = h (x_{2}) = b$ ，求证： $b e + 1 < |x_{1} - x_{2}| < b + 1$ .

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9、一设随机变量 $X$ 所有可能的取值为 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n} ， P (X = x_{i}) = p_{i} > 0 (i = 1 ， 2 ， \dots ， n)$ ，且 $p_{1} + p_{2} \dots + p_{n} = 1$ .定义事件 $X = x_{i}$ 的信息量为 $H_{i} = - ln p_{i}$ ，称 $X$ 的平均信息量 $H (X) = - (p_{1} ln p_{1} + p_{2} ln p_{2} + \dots + p_{n} ln p_{n})$ 为信息熵.

(1)、若 $n = 3 ， p_{k + 1} = 2 p_{k} (k = 1 ， 2)$ ，求此时的信息熵；

(2)、最大熵原理：对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明： $H (X) \leq ln n$ ，并解释等号成立时的实际意义.
（参考不等式：若 $f (x) = ln x$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} f (x_{i}) \leq f (\sum_{i = 1}^{n} p_{i} x_{i})$ ）

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10、在直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在抛物线 $C$ 上，若 $△ O F M$ 的外接圆与抛物线 $C$ 的准线相切，且该圆的面积为 $\frac{9 π}{64}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若点 $(- 1, 1)$ 关于直线 $y = k x$ 对称的点在 $C$ 上，求 $k$ 的值.

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11、已知在 $△ A B C$ 中， ${sin}^{2} A - {sin}^{2} B = {sin}^{2} C - \sqrt{3} sin B sin C ， 2 cos B = sin C$ .

(1)、判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、若点 $D$ 在 $A B$ 边上，且 $B D = 2 A D$ .若 $C D = 2$ ，求 $△ A C D$ 的面积.

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12、已知双曲线 $C_{1}, C_{2}$ 都经过点 $(1, 1)$ ，离心率分别记为 $e_{1}, e_{2}$ ，设双曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的渐近线分别为 $y = \pm k_{1} x$ 和 $y = \pm k_{2} x$ .若 $k_{1} k_{2} = 1$ ，则 $\frac{e_{1}}{e_{2}} =$ .

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13、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 的实部和虚部都不为0，满足① $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| = 2$ ；② $|z_{1} z_{2}| = 2$ .则 $z_{1} =$ ， $z_{2} =$ .（写出满足条件的一组 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ ）

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14、曲线 $y = \ln x$ 在点 $M (e, 1)$ 处的切线的斜率是.

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15、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (f (x) + y z) = x + f (y) f (z)$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (f (x)) = x$ C、 $f (x y) = f (x) f (y)$ D、 $f (x + y) = f (x) f (y)$

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} - a x (x \geq 0)$ ，则（）

A、若 $f {(x)}_{min} = f (1)$ ，则 $a = 1$ B、若 $f {(x)}_{min} = f (1)$ ，则 $a = - \frac{1}{3}$ C、若 $a = 1$ ，则 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递减 D、若 $a = - \frac{1}{3}$ ，则 $f (x)$ 在 $(1, 3)$ 上单调递增

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17、如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足 $M N ⊥ O P$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、对 $\forall x \in [1, + \infty ）$ ，不等式 $({(ln a x)}^{2} - 1) (e^{x} - b) \geq 0$ 恒成立，则（）

A、若 $a \in (0, \frac{1}{e})$ ，则 $b \leq e$ B、若 $a \in (0, \frac{1}{e})$ ，则 $b > e$ C、若 $a \in [\frac{1}{e}, e)$ ，则 $a^{b} = e^{e}$ D、若 $a \in [\frac{1}{e}, e)$ ，则 $b^{a} = e^{e}$

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19、已知 $\frac{1}{sin 10^{\circ}} - \frac{λ}{cos 10^{\circ}} = 4$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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20、设 $f (x) = e^{x} + ln x$ ，满足 $f (a) f (b) f (c) < 0 (0 < a < b < c)$ .若函数 $f (x)$ 存在零点 $x_{0}$ ，则（）

A、 $x_{0} < a$ B、 $x_{0} > a$ C、 $x_{0} < c$ D、 $x_{0} > c$

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广告支出x/万元	2	5	8	11	15	19
利润y/万元	33	45	50	53	58	64