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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 ${sin}^{2} A = {sin}^{2} B + {sin}^{2} C + sin B sin C$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $∠ B A C$ 的平分线交边 $B C$ 于点 $D$ ，且 $A D = 4$ ， $b = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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2、条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设 $X$ ， $Y$ 是离散型随机变量，则 $X$ 在给定事件 $Y = y$ 条件下的期望为 $E (X |Y = y) =$ $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i} |Y = y)$ $= \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot \frac{P (X = x_{i} ， Y = y)}{P (T = y)}$ ，其中 $\{x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}\}$ 为 $X$ 的所有可能取值集合， $P (X = x, Y = y)$ 表示事件“ $X = x$ ”与事件“ $Y = y$ ”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，某人在该商场消费了1000元，共获得4次抽奖机会.设 $ξ$ 表示第一次抽中奖品时的抽取次数， $η$ 表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则 $E (ξ |η = 4) =$ .

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3、已知角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (1, 2)$ ，则 $cos 2 α =$ .

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4、已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的极小值一定小于 $- 1$ B、函数 $y = f (f (x))$ 有6个互不相同的零点 C、若对于任意的 $x \in R$ ， $f (x) \geq a x - 1$ ，则 $a$ 的值为 $- 1$ D、过点 $(0, - 2)$ 有且仅有1条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切

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5、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与椭圆相交于 $P, Q$ 两点，则（）

A、 $|F_{1} F_{2}| = 1$ B、 $|P Q| \leq 4$ C、当 $F_{2}, P, Q$ 不共线时， $△ F_{2} P Q$ 的周长为 $8$ D、设点 $P$ 到直线 $x = - 4$ 的距离为 $d$ ，则 $d = 2 |P F_{1}|$

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6、已知函数 $f (x) = sin ω x + \sqrt{3} cos ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为2 B、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6}, 0)$ 中心对称 D、 $f (x)$ 的图象可由 $y = 2 cos 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到

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7、已知 $a, b, c \in (0, 4)$ ，且满足 $\frac{\sqrt{a} + 1}{2} = {cos}^{2} \frac{a}{2}$ ， $b e^{2 b} = 1$ ， $ln (c + 1) = cos c$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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8、已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为 $36 π$ ，若正四棱锥 $P - A B C D$ 的高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为（）

A、16 B、8 C、4 D、2

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9、函数 $f (x) = \frac{1}{4} cosπ x \cdot (e^{x} - e^{- x})$ ， $x \in (- 4, 4)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10、一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去 $200$ 天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， …， $[90, 100]$ 分成5组，得到如图所示的频率分布直方图：
根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是（）

A、图中 $a$ 的值为 $0.005$ B、这 $200$ 天中有 $140$ 天的日销售量不低于 $80$ kg C、这 $200$ 天销售量的中位数的估计值为 $85$ kg D、店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能 $85 %$ 地满足顾客的需要（在 $100$ 天中，大约有 $85$ 天可以满足顾客的需求），则每天的苹果进货量应为 $91$ kg

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11、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 边上，且 $\vec{B D} = \vec{D A}$ ， $\vec{A E} = 3 \vec{E C}$ ，点 $F$ 为 $D E$ 中点，则 $\vec{B F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{8} \vec{B A} + \frac{3}{8} \vec{B C}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ C、 $\frac{3}{8} \vec{B A} + \frac{3}{8} \vec{B C}$ D、 $\frac{3}{8} \vec{B A} + \frac{3}{4} \vec{B C}$

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12、若双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线的斜率为 $\sqrt{3}$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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13、已知集合 $A = \{x |- 1 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{x |- a \leq x \leq a + 1\}$ ，则“ $a = 1$ ”是“ $A \subseteq B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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14、对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为 $a_{n}$ ；若n为奇数，则对 $3 n + 1$ 不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为 $a_{n}$ .若 $a_{n} = 1$ ，则称正整数n为“理想数”.

(1)、求20以内的质数“理想数”；

(2)、已知 $a_{m} = m - 9$ .求m的值；

(3)、将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列 $\{b_{n}\}$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < \frac{7}{3} (n \in N^{*})$ .

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15、已知函数 $f (x) = 2 a \ln x + \frac{3}{4} x^{2} - (a + 3) x, (a \in R)$

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $f (x) = - x + b$ ，求a和b的值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

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16、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $b cos A + \sqrt{3} b sin A = a + c$

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 边上一点，满足 $C D = 2 A D$ ，求 $B D$ 的长．

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17、二阶魔方是一个 $2 \times 2 \times 2$ 的正方体，由8个角块组成，没有中心块和棱块，结构相对简单.若空间中方向不同但状态相同（即通过整体旋转后相同）的情况只算一种，则任意二阶魔方共有种不同的状态.（提示：任选其中1个角块作为参考，则其余7块能自由排列，在这7块中，任意确定6块，最后1块也就唯一确定了）

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18、已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数.当 $0 < x < 2$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ ，则 $f (101) =$ .

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19、已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 a x^{2} + b x + c (a, b, c \in R), f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则（）

A、“ $a = c = 0$ ”是“ $f (x)$ 为奇函数”的充要条件 B、“ $a = b = 0$ ”是“ $f (x)$ 为增函数”的充要条件 C、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集为 ${x ∣ x < 1$ 且 $x \neq - 1}$ ，则 $f (x)$ 的极小值为 $- \frac{32}{27}$ D、若 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $f^{'} (x) = 0$ 的两个不同的根，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 1$ ，则 $a < 0$ 或 $a > 3$

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20、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的图象过点 $A (0, 1)$ 和 $B (x_{0}, - 2) (x_{0} > 0)$ ，且满足 ${|A B|}_{\min} = \sqrt{13}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $ω = \frac{π}{3}$ C、当 $x \in [- \frac{1}{4}, 1]$ 时，函数 $f (x)$ 值域为 $[0, 1]$ D、函数 $y = x - f (x)$ 有三个零点

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