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相关试卷

1、设向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，且 $|\overset{⃑}{a}| = 1$ ， $|\overset{⃑}{b}| = 3$ ，则 $(2 \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) \cdot \overset{⃑}{b} =$ ．

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2、用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管（如图1）：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2），再用一个与圆柱底面所成 $45 °$ 的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管．现使用长为 $2π$ ，宽为 $π$ 的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时（不计拼接损耗部分），解答下列问题．

(1)、求该直角圆形弯管的体积；

(2)、已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆，求该椭圆的离心率；

(3)、如图3，若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形（如图4），证明：该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅．

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3、“ $m = 3$ ”是“椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、已知圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 1 = 0$ 关于直线 $x + y + m = 0$ 对称，则实数 $m =$ （）

A、－2 B、－1 C、1 D、2

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5、下列说法正确的是（）

A、从集合 $A = \{1, 2, 3\}$ 到集合 $B = \{4, 5\}$ 的函数有 $8$ 个 B、已知 $f (x) = 2 x^{2} - 2 x - 1$ ， $g (x) = x - \sqrt{x - 2} + m$ ，对 $\forall x_{1} \in [0, 2]$ ， $\exists x_{2} \in [2, 6]$ 使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围为 $(- \infty, - \frac{13}{4}]$ C、已知实数x，y，z，记 $M = \max \{x^{2} + 2 y, y^{2} + 2 z, z^{2} + 2 x\}$ ，则 $M$ 的最小值为 $- 2$ D、已知 $f_{1} (x) = x$ ， $f_{n + 1} (x) = \frac{1 + f_{n} (x)}{1 - f_{n} (x)}$ ，则 $f_{2024} (2) = \frac{1}{3}$

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6、若任意 $x$ 满足 $a \leq x \leq b$ （ $a < b$ ），都有不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 恒成立，则称该不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 为“ $[a, b, c]$ 不等式”

(1)、已知不等式 $m x + m \geq 0$ 为“ $[0, m, m]$ 不等式”，求m的取值范围；

(2)、判断不等式 $- x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$ 是否为“ $[- 1, 2, 2]$ 不等式”，并说明理由；

(3)、若 $- 1 \leq a < b$ ， $b > 0$ ， $c = b - a^{3}$ ，证明：不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ 是“ $[a, b, c]$ 不等式”.

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7、已知定义在 $(- 1, 1)$ 上的奇函数 $f (x) = \frac{a x - b}{x^{2} + 1}$ ，且 $f (\frac{1}{3}) = \frac{3}{10} .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并证明你的结论；

(3)、解不等式 $f (2 t) + f (3 t - 1) < 0 .$

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8、若集合 $A = \{x ∣ - 3 \leq x \leq 3\}$ ，集合 $B = \{x |m - 5 \leq x \leq 2 m + 1\}$ .

(1)、若 $m = 0$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、当 $A \cap B = A$ 时，求实数m的取值范围.

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9、已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $x > y > 0$ ，若 $z = x^{2} + \frac{16}{(x - y) y}$ ，则 $z$ 的最小值是．

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10、定义 $f (x) = ⌈x⌉$ （其中 $⌈x⌉$ 表示不小于 $x$ 的最小整数）为“向上取整函数”.例如 $⌈- 1.1⌉ = - 1$ ， $⌈2.1⌉ = 3, ⌈4⌉ = 4$ .以下描述正确的是（）

A、若 $f (x) = 2023$ ，则 $x \in (2022, 2023]$ B、若 ${⌈x⌉}^{2} - 5 ⌈x⌉ + 6 \leq 0$ ，则 $x \in (1, 3]$ C、 $f (x) = ⌈x⌉$ 是 $R$ 上的奇函数 D、若 $f (x) = f (y)$ ，则 $|x - y| < 1$

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11、下列说法正确的是（）

A、“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} > 1$ ”的充分不必要条件 B、函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} \times \sqrt{x - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 是同一函数 C、函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 6 x - 7}$ 的单调递增区间是 $(3, + \infty)$ D、已知 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2, 2]$ ，则函数 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[- 1, 3]$

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12、定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (3 - x) = f (x + 3)$ ，且当 $x_{2} > x_{1} > 3$ 时， $\frac{(f (x_{1}) - f (x_{2}))}{(x_{1} - x_{2})} > 0$ 恒成立，设 $a = f (2 x^{2} - x + 5)$ ， $b = f (\frac{5}{2})$ ， $c = f (x^{2} + 4)$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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13、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + a + 2, x \leq 1 \\ x^{2 a - 6}, x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的单调函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, 3)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $(1, 2)$ D、 $[1, 2]$

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14、已知正实数x，y满足 $x^{2} + 3 x y - 2 = 0$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{10}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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15、下列各式正确的是（）

A、 $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ B、 $a \sqrt{- a} = \sqrt{- a^{3}}$ C、 $\sqrt{a^{6}} = a^{3}$ D、 $\sqrt{- \frac{1}{a}} = - \frac{1}{a} \sqrt{- a}$

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16、一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是（）

A、大于10g B、大于等于10g C、小于10g D、小于等于10g

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17、“ $a > b$ ”是“ $a > |b|$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $B = \{x |x \geq 2 或 x \leq - 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1 ， 0 ， 1 ， 2\}$ B、 $\{- 1 ， 2 ， 3\}$ C、 $\{- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3\}$ D、 ${2 ， 3}$

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19、已知 $△ A B C$ 用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正三角形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ （如图），则 $△ A B C$ 中边长与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的边长相等的边上的高为

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20、已知向量 $\vec{a} = (2, 0, 2)$ ， $\vec{b} = (- \frac{1}{2}, 1, - \frac{3}{2})$ ， $\vec{c} = (1, - 2, 3)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 B、 $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线 C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 所成角为锐角 D、 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，可作为空间向量的一组基底

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