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相关试卷

1、若 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $a b > 0$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq a + b$ B、 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 4 a b$

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2、已知等差数列 $A : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ ，若存在有穷等比数列 $B : b_{1}, b_{2}, \dots, b_{N}$ ，其中 $b_{1} = 1$ ，公比为 $q$ ，满足 $b_{k - 1} \leq a_{k - 1} \leq b_{k}$ ，其中 $k = 2, 3, \dots, N$ ，则称数列 $B$ 为数列 $A$ 的长度为 $N$ 的“等比伴随数列”．数列 $A$ 的通项公式为 $a_{n} = n$ ，数列 $B$ 为数列 $A$ 的长度为 $N$ 的“等比伴随数列”，则 $N$ 的最大值为．

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3、若函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = \{\begin{matrix} - a x + 1, x < a \\ {(x - 2)}^{2}, x \geq a \end{matrix}$ ，且存在最小值，则a的取值范围为．

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4、设 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $\dots$ ， $A_{7}$ 是均含有 $2$ 个元素的集合，且 $A_{1} \cap A_{7} = \emptyset$ ， $A_{i} \cap A_{i + 1} = \emptyset (i = 1, 2, 3, \dots, 6)$ ，记 $B = A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup \dots \cup A_{7}$ ，则 $B$ 中元素个数的最小值是．

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5、下图为某地出土的一块三角形瓷器片，其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片，现测得如下数据： $A B = 34.64 cm$ ， $A D = 10 cm, B E = 14 cm, A = B = \frac{π}{6}$ ，则 $D, E$ 两点间距离为cm.（精确到1cm）

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6、若函数 $f (x) = e^{x} - a x$ 在区间 $(0, 1)$ 上有极值点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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7、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - x + m < 0$ 的解集是 $\emptyset$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{10} = 24$ ，且 $a_{3} = 6$ ，则 $S_{8} =$ ．

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9、已知点 $P (3, - 4)$ 是角 $α$ 终边上一点，则 $cos 2 α =$ ．

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10、已知平面向量 $\vec{a} = (5, 0), \vec{b} = (2, - 1)$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为．

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11、直线 $x + \sqrt{3} y + 5 = 0$ 的倾斜角是．

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12、若 $z (1 + i) = 2 + 3 i$ ，则复数 $z$ 的虚部是．

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13、已知集合 $M = {x | - 3 < x < 1}$ ， $N = {x | - 1 \leq x < 4}$ ，则 $M \cup N =$ ．

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14、对于正整数 $n$ ，如果 $k (k \in N^{*})$ 个整数 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{k}$ 满足 $1 \leq a_{1} \leq a_{2} \leq \dots \leq a_{k} \leq n$ ，且 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} = n$ ，则称数组 $(a_{1}, a_{2}, \dots a_{k})$ 为 $n$ 的一个“正整数分拆”.记 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{k}$ 均为偶数的“正整数分拆”个数为 $f_{n}, a_{1}, a_{2}, \dots a_{k}$ 均为奇数的“正整数分拆”个数为 $g_{n}$ .

(1)、写出整数4的所有“正整数分拆”；

(2)、对于给定的整数 $n (n \geq 4)$ ，设 $(a_{1}, a_{2}, \dots a_{k})$ 是 $n$ 的一个“正整数分拆”，且 $a_{1} = 2$ ，求 $k$ 的最大值；

(3)、对所有的正整数 $n$ ，证明： $f_{n} \leq g_{n}$ ；并求出使得等号成立的 $n$ 的值.

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} - a x + 2 a - 2, g (x) = 2 |x - 1|$ ，函数 $F (x) = min \{f (x), g (x)\}$ ，其中 $min \{p, q\} = \{\begin{matrix} p, p \leq q \\ q, p \geq q \end{matrix}$ ．

(1)、是否存在 $a, b$ ，使得曲线 $y = f (x) \cdot g (x)$ 关于直线 $x = b$ 对称？若存在求 $a, b$ 的值；

(2)、若 $a \geq 6$ ，
①求使得 $F (x) = f (x)$ 成立的 $x$ 的取值范围；
②求 $F (x)$ 在区间 $[0, 6]$ 上的最大值 $M (a)$ ．

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16、环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈．绵阳某化工厂每一天中污水污染指数 $f (x)$ 与时刻 $x$ （时）的函数关系为 $f (x) = |\log_{25} (x + 1) - a| + 2 a + 1, x \in [0, 24]$ 其中 $a$ 为污水治理调节参数，且 $a \in (0, 1)$ 。

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；

(2)、规定每天中 $f (x)$ 的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过 $3$ ，则调节参数a应控制在什么范围内？

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17、设 $a, b, c \in R, a + b + c = 0, a b c = 1$ ．注： ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 c a$

(1)、证明： $a b + b c + c a < 0$ ；

(2)、若 $a \geq b \geq c$ ，求 $a$ 的最小值．

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18、已知集合 $A = {x | 1 \leq x \leq 5}, B = {x | a x - 1 \geq 0}$ ．

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、从① $A \cap B = A$ ；② $B \cup (∁_{R} A) = R$ ；③ $A \cap (∁_{R} B) = \emptyset$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答．
问题：若_________，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} + m^{2} - 3$ ，若 $f (x)$ 的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数 $m$ 的取值范围为．

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20、已知 $a$ ， $b > 0$ 且 $a b = a + b + 3$ ，则 $a + b$ 的取值范围为.

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