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相关试卷

1、设集合 $M = \{x| - 1 < x < 5\}$ ， $N = \{y| y = x - 1, x \in M\}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 $(- 2, 5)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(- 2, 4)$ D、 $(- 1, 5)$

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2、已知 $P$ 为抛物线 $E : y^{2} = 2 x$ 上的动点， $Q$ 为圆 $C : {(x - a)}^{2} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 上的动点，若 $|P Q|$ 的最小值为 $\sqrt{3} - 1$ ．

(1)、求 $a$ 的值 $；$

(2)、若动点 $P$ 在 $x$ 轴上方，过 $P$ 作圆 $C$ 的两条切线分别交抛物线 $E$ 于另外两点 $A$ ， $B$ ，且满足 $|P A| = |P B|$ ，求直线 $A B$ 的方程．

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3、已知函数 $f (x) = x + \frac{m}{e^{x}}$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 2$ ，证明： $0 < m < e$ ，且 $x_{1} + x_{2} < 2$ ．

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4、时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
主播的学历层次
直播带货评级
合计
优秀
良好
本科及以上
60
40
100
专科及以下
35
65
100
合计
95
105
200

(1)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？

(2)、现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按比例分配分层随机抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取2人参加主播培训，求这2人中，主播带货优秀的人数 $X$ 的概率分布和数学期望；

(3)、统计学中常用 $R (B |A) = \frac{P (B |A)}{P (\bar{B} |A)}$ 表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当 $R (B |A) \geq 1.35$ 时，我们认为事件A条件下B发生有优势．现从这200人中任选1人，A表示“选到的主播带货良好”，B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计 $R (B |A)$ 的值，并判断事件A条件下B发生是否有优势．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$a$
0.050
0.010
0.001
$x_{a}$
3.841
6.635
10.828

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5、如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B = A A_{1}$ ， D，E，F分别为棱 $A_{1} B_{1}$ ， BC， $B B_{1}$ 的中点，连接 $A_{1} F$ ．

(1)、求证： $A_{1} F ⊥$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、求二面角 $A - C_{1} D - E$ 的正切值．

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6、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 可导，且 $f (x)$ 不恒为0， $f (x + 2)$ 为奇函数， $f (2 x + 1)$ 为偶函数，则下列说法正确的是．（填序号）
① $y = f (x)$ 的周期为4；② $y = f^{'} (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称；③ $f (2^{n}) = 0 (n \in N^{*})$ ；④ $\sum_{i = 3}^{2024} f (i) = 0$ ．

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7、已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 的轴截面是等腰梯形 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $C D = \sqrt{3} A B$ ， $A B + C D = 2 O_{1} O_{2}$ ，圆台 $O_{1} O_{2}$ 的底面圆周都在球 $O$ 的表面上．记圆台 $O_{1} O_{2}$ 的体积为 $V_{1}$ ，球 $O$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ ．

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8、已知复数 $z = 1 - i$ （i是虚数单位），则 $z^{2} - \frac{2}{z}$ 的共轭复数是．

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9、如图，设Ox，Oy是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序实数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在斜坐标系Oxy中的坐标，记作 $\vec{O P} = (x, y)$ ．则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{O P} = (- 1, 2)$ ，则 $|\vec{O P}| = \sqrt{3}$ B、若 $\vec{A B} = (2, - 1)$ ， $\vec{B C} = (- 1, \frac{1}{2})$ ，则A，B，C三点共线 C、若 $\vec{O P_{1}} = (3, 4)$ ， $\vec{O P_{2}} = (- 4, 3)$ ，则 $\vec{O P_{1}} ⊥ \vec{O P_{2}}$ D、若 $\vec{O A} = (3, 0)$ ， $\vec{O B} = (0, 2)$ ， $\vec{O C} = (2, 4)$ ，则四边形OACB的面积为 $4 \sqrt{3}$

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10、《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法错误的是（）

A、在睡眠指数 $[60, 80)$ 的人群中，早睡人数多于晚睡人数 B、早睡人群睡眠指数主要集中在 $[80, 90)$ C、早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小 D、晚睡人群睡眠指数主要集中在 $[60, 80)$

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为椭圆上一点，直线 $A P$ 与直线 $x = a$ 交于点M， $∠ P F B$ 的角平分线与直线 $x = a$ 交于点N．若 $P F ⊥ A B$ ， $△ M A B$ 的面积是 $△ N F B$ 面积的 $\frac{5}{2}$ 倍，则椭圆C的离心率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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12、在 $△ A B C$ 中， $B C = \sqrt{3} A C$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ，点D与点B在直线AC的两侧，且 $A D = 2$ ， $D C = \sqrt{3}$ ，则BD长度的最大值是（）

A、5 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、7

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13、我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（ $0 ° \leq θ \leq 80 °$ ）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即 $l = h \tan θ$ ．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为 $α$ ， $β$ ，第二次的“晷影长”是“表高”的2倍，且 $\cos 2 α + \sin 2 α = - \frac{1}{5}$ ，则 $\tan (α - β)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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14、设 $S_{n}$ 是等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{2} = 3$ ， $a_{3} + a_{4} = 6$ ，则 $\frac{S_{10}}{S_{8}} =$ （）

A、 $\frac{15}{7}$ B、 $\frac{31}{15}$ C、2 D、 $\frac{63}{31}$

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15、寒假期间某校6名学生计划去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择．若至少有2人前往黄山，其余两个景区都分别至少有1人前往，则不同方案的种数为（）

A、240 B、360 C、480 D、540

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16、将一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，a，23，25，27，31，36，37．若该组数据的35%分位数为19，则 $a =$ （）

A、19 B、20 C、21 D、22

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17、已知集合 $A = \{x |x^{2} - x - 2 \leq 0\}$ ， $B = \{x |y = \ln x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $[0, 2]$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 2]$

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18、集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合 $A$ 和 $B$ ，定义和集 $A + B = \{a + b| a \in A, b \in B\}$ ，用符号 $d (A + B)$ 表示和集 $A + B$ 内的元素个数.

(1)、已知集合 $A = \{1, 3, 5\}$ ， $B = \{1, 2, 6\}$ ， $C = \{1, 2, 6, x\}$ ，若 $A + B = A + C$ ，求 $x$ 的值；

(2)、记集合 $A_{n} = \{1, 2, \dots, n\}$ ， $B_{n} = \{\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, \dots, n \sqrt{2}\}$ ， $C_{n} = A_{n} + B_{n}$ ， $a_{n}$ 为 $C_{n}$ 中所有元素之和， $n \in N^{*}$ ，求证： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \dots + \frac{n}{a_{n}} < 2 (\sqrt{2} - 1)$ ；

(3)、若 $A$ 与 $B$ 都是由 $m (m \geq 3, m \in N^{*})$ 个整数构成的集合，且 $d (A + B) = 2 m - 1$ ，证明：若按一定顺序排列，集合 $A$ 与 $B$ 中的元素是两个公差相等的等差数列.

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19、已知椭圆 $E$ 中心在原点，左焦点为 $F (- 1, 0)$ ，其四个顶点的连线围成的四边形面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过椭圆 $E$ 的左焦点 $F$ 作斜率存在的两直线 $A B$ 、 $C D$ 分别交椭圆于 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，且 $A B ⊥ C D$ ，线段 $A B$ 、 $C D$ 的中点分别为 $M$ 、 $N$ .求四边形 $B C M N$ 面积的最小值.

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20、已知三位整数 $n$ 满足 ${(a + b)}^{n}$ 的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则 $n$ 的最大值是．

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主播的学历层次	直播带货评级		合计
主播的学历层次	优秀	良好	合计
本科及以上	60	40	100
专科及以下	35	65	100
合计	95	105	200

$a$	0.050	0.010	0.001
$x_{a}$	3.841	6.635	10.828