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相关试卷

1、已知 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是边长为2的正方体，点E为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点F为 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} ⊥ E F$ ；

(2)、求平面EFC与平面BFC夹角的余弦值．

(3)、求点 $C_{1}$ 到直线 $B D_{1}$ 的距离．

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2、在平面直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，直线 $l$ 的方程为 $(a + 1) x - y + 4 a = 0$ ， $a \in R$

(1)、若 $a = 1$ ，求过点 $(1, 0)$ 且与直线 $l$ 平行的直线方程；

(2)、已知原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为4，求 $a$ 的值；

(3)、已知直线 $l$ 在两条坐标轴上截得的截距相等，求 $a$ 的值．

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3、A，B，C三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立．已知A闯关成功的概率是 $\frac{2}{3}$ ， A，B，C三人闯关都成功的概率是 $\frac{1}{6}$ ， A，B，C三人闯关都不成功的概率是 $\frac{1}{12}$ ．

(1)、求B，C两人各自闯关成功的概率；

(2)、求A，B，C三人中恰有两人闯关成功的概率；

(3)、求A，B，C三人中至少一人闯关成功的概率．

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4、在棱长为1的正方体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 中， $M$ 为底面 $A B C D$ 的中心， $Q$ 是棱 $A_{1} D_{1}$ 上一点，且 $\vec{D_{1} Q} = λ \vec{D_{1} A_{1}}$ ， $λ \in [0, 1]$ ， $N$ 为线段 $A Q$ 的中点，给出下列命题：
① $C, M, N, Q$ 四点共面；
②三棱锥 $A - D M N$ 的体积与 $λ$ 的取值有关；
③当 $∠ Q M C = 90 °$ 时， $λ = 0$ ；
④当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，过 $A, Q, M$ 三点的平面截正方体所得截面的面积为 $\sqrt{5} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .
其中正确的有（填写序号）.

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5、数据3.2，3.6，4.5，2.4，4.6，6.4，7.8，7.9，8.0，8.1，8.4，8.6的上四分位数是．

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6、已知直线经过 $l : k x - y + 1 + 2 k = 0 (k \in R)$ ，则该直线过定点．

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7、直线 $l_{1}$ 的方程为 $x + 2 y - 4 = 0$ ，若 $l_{2}$ 在x轴上的截距为 $\frac{3}{2}$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ．则下列说法正确的是（）

A、直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点坐标为 $(2, 1)$ ，直线 $l_{2}$ 在y轴上的截距是 $- 3$ B、已知直线 $l_{3}$ 经过 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍， $l_{3}$ 的方程为 $2 x + y - 5 = 0$ C、已知动直线 $l_{4}$ 经过 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点，当原点到 $l_{4}$ 距离最大时， $(4, 2)$ 到 $l_{4}$ 距离为 $\sqrt{5}$ D、直线 $L_{1} : a x + 3 y + 1 = 0$ ， $L_{2} : 2 x + (a + 1) y + 1 = 0$ ，若 $L_{1} // L_{2}$ ，则 $a = - 3$ 或2

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8、在四面体 $P A B C$ 中，下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，则 $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ B、若Q为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{P Q} = \frac{1}{3} \vec{P A} + \frac{1}{3} \vec{P B} + \frac{1}{3} \vec{P C}$ C、若 $\vec{P A} \cdot \vec{B C} = 0$ ， $\vec{P C} \cdot \vec{A B} = 0$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{A C} = 0$ D、若四面体 $P A B C$ 的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则 $|\vec{M N}| = 1$ ．

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9、如图，在直三棱柱 $A B C - A B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 3, B C = 4, C C_{1} = 3, ∠ A C B = 90^{\circ}$ ，则 $B C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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10、设点 $A (- 1, - 1), B (3, 1)$ ，直线 $l$ 过点 $P (1, 2)$ ，且与线段 $A B$ 相交，则直线 $l$ 的斜率取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ B、 $(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$

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11、在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（　　）.

A、0.25 B、0.4 C、0.6 D、0.75

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12、已知两平行直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 4 = 0$ 和 $l_{2} : 6 x - 8 y - 2 = 0$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为（）

A、1 B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、2

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13、分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（）

A、A与B，A与C均相互独立 B、A与B相互独立，A与C互斥 C、A与B，A与C均互斥 D、A与B互斥，A与C相互独立

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14、已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， ...， $x_{n}$ 的平均数为10，标准差为2，则 $2 x_{1} - 1$ ， $2 x_{2} - 1$ ， ...， $2 x_{n} - 1$ 的平均数和标准差分别为（）

A、19和2 B、19和4 C、19和8 D、19和16

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15、已知点 $M$ 在平面 $A B C$ 内，并且对空间任一点 $O$ ， $\vec{O M} = x \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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16、已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq 2 a + 3}$ ， $B = {x | - 2 < x < 2}$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $A \cup B$ ， $A \cap B$ .

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求 $a$ 的取值范围.

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17、下列各组函数表示同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x + 1$ 与 $g (x) = x + x^{0}$ B、 $f (x) = \sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x + 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{(x - 1) (x + 1)}$ C、 $f (x) = - x \sqrt{- 2 x}$ 与 $g (x) = \sqrt{- 2 x^{3}}$ D、 $f (x) = |x + 1|$ 与 $g (x) = \{\begin{cases} x + 1, x \geq 0 \\ - x - 1, x < 0 \end{cases}$

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18、设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为取整函数，例如， $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ．取整函数是德国数学家高斯最先使用的，所以也称高斯函数．该函数具有以下性质：
① $y = [x]$ 的定义域为 $R$ ，值域为 $Z$ ；
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即 $x = [x] + \{x\} (0 \leq \{x\} < 1)$ ，其中 $[x]$ 为 $x$ 的整数部分， $\{x\} = x - [x]$ 为 $x$ 的小数部分．

(1)、若 $x \in [1, 4)$ ，求关于 $x$ 的方程 $[x] - 3 \{x\} = \frac{1}{2}$ 的解；

(2)、求关于 $x$ 的不等式 $[x] - 2 \{x\} < \frac{7}{2}$ 的解集；

(3)、若对于任意的 $x \in [1, 3)$ ，不等式 $4 x^{2} - 2 a \{x\} + 4 - a \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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19、如图， $D A$ 和 $C B$ 都垂直于平面 $A B E$ ， $F$ 是 $D A$ 上一点，且 $C B = 4, A F = 2$ ， $△ A B E$ 为等腰直角三角形，且 $O$ 是斜边 $A B$ 的中点， $C E$ 与平面 $A B E$ 所成的角为 $45^{\circ}$ .

(1)、证明： $F O ⊥$ 平面 $O C E$ ；

(2)、求二面角 $F - E C - O$ 的平面角的正切值；

(3)、若点P是平面ADE内一点，且 $O C ⊥ O P$ ，设点P到平面ABE的距离为 $d_{1}, P A = d_{2}$ ，求 $d_{1} + d_{2}$ 的最小值.

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20、已知集合 $A = \{x ∣ \log_{3} (x + 2) \leq 3\}, B = {x ∣ 2 m - 4 < x < m + 2}$ ．

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $A \cup B, (∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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