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相关试卷

1、已知 $a b \neq 1$ ， $\log_{a} m = 2$ ， $\log_{b} m = 5$ ，则 $\log_{a b} m =$ （）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{7}{10}$ D、 $\frac{10}{7}$

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2、对于定义域为 $I$ 的函数，如果存在区间 $[m, n] \subseteq I$ ，同时满足下列两个条件：
① $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上是单调的；
②当定义域是 $[m, n]$ 时， $f (x)$ 的值域也是 $[m, n]$ ，则称 $[m, n]$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个“黄金区间”.

(1)、请证明：函数 $y = 1 - \frac{3}{x} (x > 0)$ 不存在“黄金区间”；

(2)、已知函数 $y = x^{2} - 4 x + 6$ 在 $R$ 上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”；

(3)、如果 $[m, n]$ 是函数 $y = \frac{(a^{2} + a) x - 2}{a^{2} x} (a \neq 0)$ 的一个“黄金区间”，请求出 $n - m$ 的最大值.

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3、已知函数 $f (x) = \log_{4} (4^{x} + 1) + k x, (k \in R)$ 为偶函数

(1)、求k的值；

(2)、若函数y=f（x）的图像与直线 $y = \frac{1}{2} x + a$ 没有交点，求a的取值范围；

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4、学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分）的函数关系．要求及图示如下：（1）函数是区间 $[0, 60]$ 上的增函数；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分．
现有以下三个函数模型供选择：① $y = k x + b (k > 0)$ ， ② $y = k \cdot {1.2}^{x} + b (k > 0)$ ， ③ $y = k \cdot \log_{2} (\frac{x}{10} + 2) + n (k > 0)$ ．

(1)、请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式；

(2)、求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟．（注： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ，结果保留整数）．

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5、已知 $\sin α$ 、 $\cos α$ 是方程 $5 x^{2} - x - m = 0$ 的两个实数根，其中 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $\frac{1}{\cos α} - \frac{1}{\sin α}$ 的值.

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6、已知函数 $f (x) = \log_{3} (a x^{2} + 3 x + a + \frac{5}{4}) (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求实数a的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{8})$ 上单调递增，求实数a的取值范围．

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7、已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $\ln \sqrt{2 y + 1} + y = 2$ ， $e^{x} + x = 5$ ，则 $x + 2 y =$ .

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8、若关于 $x$ 的不等式 $k \cdot 3^{x} < 9^{x} - 3^{x} - 2$ 对任意 $x \geq 1$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围为.

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9、弧长为 $4 π$ 的扇形的圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，则此扇形的面积为．

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10、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (x)$ ， $g (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，则下列说法正确的是（）

A、 $g (g (- 1)) < g (g (2))$ B、 $g (f (- 1)) < g (f (2))$ C、 $f (g (1)) > f (g (2))$ D、 $f (f (1)) < f (f (2))$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} k x + 1, x \leq 0 \\ ln x, x > 0 \end{array}$ ，下列关于函数 $y = f [f (x)] + 1$ 的零点个数判断正确的是（）

A、当 $k < 0$ 时，有1个零点； B、当 $k > 0$ 时，有4个零点； C、无论 $k$ 取何值，均有2个零点； D、无论 $k$ 取何值，均有4个零点；

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12、已知正实数x，y满足 $x + y = 4$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $e^{x} + e^{y}$ 的最小值为 $2 e^{2}$ B、 $\lg x + \lg y$ 的最大值为 $\lg 4$ C、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为8 D、 $x (y + 4)$ 的最大值为16

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13、下列函数既是偶函数，又在 $(- \infty, 0)$ 上是减函数的是（）

A、 $y = x^{\frac{4}{5}}$ B、 $y = 3^{|x|}$ C、 $y = \lg (x^{2} + 1)$ D、 $y = x - \frac{1}{x}$

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14、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若对任意 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，均有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 且 $f (3) = 3$ ，则不等式 $f (x) - x > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3, 0) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $(- 3, 0) \cup (0, 3)$

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15、角 $α$ 的终边属于第一象限，那么 $\frac{α}{3}$ 的终边不可能属于的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、已知角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (2 a, a - 2)$ ，且 $\cos α = \frac{4}{5}$ ，则实数 $a$ 的值是（）

A、 $- 4$ 和 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- 4$ D、 $1$

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17、函数 $f (x) = \frac{2 x^{3}}{2^{x} - 2^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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18、“ $x = 2 k π + \frac{π}{3}$ ， $k \in Z$ ”是 $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、集合 $A = \{x ∣ \frac{1}{8} < 2^{x} < 2\}, B = \{x ∣ {log}_{0.3} x > 1\}$ ，则 $A, B$ 间的关系是（）

A、 $A \cup B = R$ B、 $B \subseteq A$ C、 $A \cap B = \emptyset$ D、 $A \cup B = B$

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20、已知函数 $f (x) = \frac{|x + a|}{b x^{2} + 4}$ 为 $[- b - 1, 2 b]$ 上的偶函数.

(1)、求实数a，b的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、若 $f (1 - 2 m) > \frac{1}{5}$ ，求实数m的取值范围.

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