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相关试卷

1、（1）求与向量 $\vec{a} = (2, - 1, 2)$ 共线且满足方程 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 18$ 的向量 $\vec{b}$ 的坐标；
（2）已知 $A (2, - 1, 2)$ ， $B (4, 5, - 1)$ ， $C (- 2, 2, 3)$ ，求点 $P$ 的坐标使得 $\vec{A P} = \frac{1}{2} (\vec{A B} - \vec{A C})$ ；
（3）已知 $\vec{a} = (3, 5, - 4)$ ， $\vec{b} = (2, 1, 8)$ ，求：① $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；② $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值；③确定 $λ$ 、 $μ$ 的值使得 $λ \vec{a} + μ \vec{b}$ 与 $z$ 轴垂直，且 $(λ \vec{a} + μ \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 53$ .

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2、过点 $P (2 ， 3)$ ，并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）

A、 $x + y - 5 = 0$ B、 $2 x + y - 4 = 0$ C、 $3 x - 2 y = 0$ D、 $4 x - 2 y + 5 = 0$

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3、棱长为 $1$ 的正四面体 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 的中点，则 $\vec{B A} \cdot \vec{C E} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$

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4、函数 $y = \log_{a} x + a^{x - 1} + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $(k, b)$ ，若 $m + n = b - k$ 且 $m > 0$ ， $n > 0$ ，则 $\frac{9}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、9 B、8 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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5、二次函数 $f (x)$ 最小值为 $2$ ，且关于 $x = 1$ 对称，又 $f (0) = 3$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在区间 $[- 2, 2]$ 上， $y = f (x)$ 的图象恒在 $y = - x + 2 m + 1$ 图象的下方，试确定实数 $m$ 的取值范围；

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[t - 1, t]$ 上的最小值 $g (t)$ .

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6、“金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用 $98$ 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为 $50$ 万元．若该设备使用 $x$ 年，则其所需维修保养费用 $x$ 年来的总和为 $(2 x^{2} + 10 x)$ 万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为 $y$ 万元．

(1)、写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到 $30$ 万元以上；

(2)、该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（ $年平均盈利额＝ \frac{盈利总额}{使用年数}$ ）

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7、设全集为U=R ，集合 $A = \{x |3 \leq x < 9\}$ ， $B = \{x |2 < x < 6\}$ .

(1)、分别求 $A \cap B$ ， $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B)$ ；

(2)、已知 $M = \{x | a < x < a + 1\}$ ，若 $M \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x| - 1, x \leq 1 \\ 2^{x}, x > 1 \end{array}$ ，则 $f [f (- 3)] =$

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9、如果集合 $A$ 满足 ${0, 2} \subseteq A ⫋ {- 1, 0, 1, 2}$ ，则满足条件的集合 $A$ 的个数为（填数字）.

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10、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x}, - 1 \leq x \leq 1 \\ f (x - 2), x > 1 \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (12) = 2$ B、 $f (x)$ 的最大值为2 C、 $f (x)$ 的增区间为 $[2 k - 1, 2 k]$ $(k \in N)$ D、 $f (f (2 k - 1)) = 2$ $(k \in N)$

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11、下列哪一组中的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一个函数（）

A、 $f (x) = \frac{|x|}{x}$ ， $g (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \geq 0, \\ - 1, x < 0 \end{array}$ B、 $f (x) = x^{0}$ ， $g (x) = 1$ C、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ D、 $f (x) = \frac{1}{x}$ ， $g (x) = \frac{x}{x^{2}}$

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12、已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $x + |x| \geq 0$ ，则其否定为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x + |x| < 0$ B、 $\exists x \in Z$ ， $x + |x| < 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x + |x| < 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x + |x| \leq 0$

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13、已知全集 $U = {x \in N ∣ x < 9}$ ，集合 $A = {1, 2, 3}$ ，集合 $B = {0, 4, 5, 6}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B$ 等于（）

A、 ${3}$ B、 ${7, 8}$ C、 ${4, 5, 6}$ D、 ${4, 5, 6, 0}$

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14、已知 $f (x) = e^{x} \cdot sin x - x$ .

(1)、若 $g (x) = \frac{2 - 2 x - f (x)}{e^{x}} (0 < x < \frac{π}{2})$ ，证明： $g (x)$ 存在唯一零点；

(2)、当 $x \in (- \infty, π)$ 时，讨论 $f (x)$ 零点个数.

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{\sin C - \sqrt{3} \sin B}{\sin A + \sin B} = \frac{a - b}{c}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $2 \sin A \sin B = 1 + \cos C$ ， $△ A B C$ 外接圆半径为2， $∠ B A C$ 的角平分线与 $B C$ 交于点 $D$ .求 $A D$ 的长.

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16、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > c > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，若以 $F_{2}$ 为圆心， $b - c$ 为半径作圆 $F_{2}$ ，过椭圆上一点 $P$ 作此圆的切线，切点为 $T$ ，且 $|P T|$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2} (a - c)$ ，则椭圆的离心率 $e$ 是.

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17、关于 $x$ 的不等式 $m x^{2} - x + 1 < 0$ 的解集为 $\{x |a < x < b\}$ ，则 $\frac{1}{a - 1} + \frac{4}{b - 1}$ 的最小值为.

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18、若函数 $f (x) = \frac{1}{2} f^{'} (- 1) x^{2} - 2 x + 1$ ，则 $f^{'} (- 1) =$ .

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19、若数列 $\{F_{n}\}$ 满足 $F_{1} = F_{2} = 1$ ， $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n} (n \in N^{*})$ ，设 $a_{n} = {(- 1)}^{F_{n} F_{n + 1}}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 1$ B、 $a_{2024} + a_{2025} = 2$ C、 $a_{n} = a_{n + 3}$ D、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为30，则 $n = 90$ 或 $n = 92$

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20、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{2 π}{3}, 0)$ 对称 C、将函数 $y = 2 cos (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位得到函数 $f (x)$ 的图象 D、若方程 $f (x) = m$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有且只有一个实数根，则 $m$ 的取值范围是 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3})$

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