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相关试卷

1、正整数的倒数和，通常也称为调和数列的和.当 $n (n \in N^{*})$ 很大时， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \approx ln n + γ$ ，其中 $γ$ 称为欧拉-马歇罗尼常数， $γ \approx 0.577215664901 \dots$ .若 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{1200}]$ 的值为（）（参考数据： $ln 2 \approx 0.69, ln 3 \approx 1.10, ln 10 \approx 2.30$ ）

A、4 B、5 C、6 D、7

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2、将函数 $f (x) = sin ω x (ω > 0)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，且 $g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 对称，则 $ω$ 的最小值为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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3、设函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x (x - a)}$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $[4, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, 4), \vec{b} = (2, x)$ ，且 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、8 B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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5、已知复数 $z$ 满足 $(z - 1) i = 1$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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6、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n}$ 是 $S_{n}$ 和8的等差中项.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = {log}_{2} a_{n}$ ，数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{12} \leq T_{n} < \frac{1}{3}$ .

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7、已知函数 $f (x) = \tan (π x - \frac{π}{3})$ ，下列说法正确的是（）

A、1是 $f (x)$ 的周期 B、 $f (x)$ 的定义域为 $\{x |x \neq k + \frac{π}{6}, k \in Z\}$ C、 $f (- \frac{1}{4}) < f (\frac{1}{4})$ D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{1}{6}, 0)$ 对称

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8、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A A_{1} = 8$ ，点 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ 、 $D_{2}$ 分别在棱 $A A_{1}$ 、 $B B_{1}$ 、 $C C_{1}$ 、 $D D_{1}$ 上， $A A_{2} = 2$ ， $B B_{2} = D D_{2} = 4$ ， $C C_{2} = 6$ ．

(1)、求证： $B_{2} C_{2} // A_{2} D_{2}$ ；

(2)、求三棱锥 $A - A_{2} C_{2} D_{2}$ 的体积；

(3)、点 $P$ 在棱 $B B_{1}$ 上，当二面角 $P - A_{2} C_{2} - D_{2}$ 大小为 $\frac{5 π}{6}$ 时，求线段 $B_{2} P$ 的长．

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9、已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} = 110$ ，且 $a_{1}, a_{2}, a_{4}$ 成等比数列
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{(a_{n} - 1) (a_{n} + 1)}$ ，若数列 ${b_{n}}$ 前n项和 $T_{n}$ ，证明 $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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10、抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点F恰好是圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 的圆心，过点F且倾斜角为 $45 °$ 的直线l与C交于不同的A，B两点，则 $|A B| =$ ．

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11、若函数 $f (x) = \frac{m cos x}{1 + e^{x}} - cos x$ 为奇函数，则实数m的值为．

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12、费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点 $P$ 为双曲线 $(F_{1}, F_{2}$ 为焦点）上一点，点 $P$ 处的切线平分 $∠ F_{1} P F_{2}$ .已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, O$ 为坐标原点，点 $P (3, \frac{\sqrt{5}}{2})$ 处的切线为直线 $l$ ，过左焦点 $F_{1}$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $M$ ，若 $|O M| = 2$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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13、如图l，在高为h的直三棱柱容器 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = a$ ， $A B ⊥ A C$ ，现往该容器内灌进一些水，水深为 $h^{'}$ ，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为 $A_{1} B_{1} C$ （如图2），则 $\frac{h^{'}}{h}$ =（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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14、已知两个等差数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的首项分别为1和2，且 $a_{10} + b_{10} = 30$ ，则数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 的前20项的和为（）

A、165 B、630 C、60 D、330

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15、已知向量 $\vec{a} = (m, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{c} = (1, 3)$ ，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则实数 $m$ 为（）

A、-4 B、-3 C、4 D、3

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16、设 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 直线 $l$ 与 $C$ 第一象限相交于点 $P$ ， $|F_{1} P| = |F_{1} F_{2}|$ 且直线 $l$ 倾斜角的余弦值为 $\frac{7}{8}$ ， $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $- 2$ C、3 D、 $- 3$

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17、函数 $f (x) = sin x + sin 2 x$ 在区间 $(0, 3 π)$ 上的零点个数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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18、已知点 $O (0, 0)$ ，向量 $\vec{O A} = (- 1, 2)$ ，向量 $\vec{O B} = (2, 4)$ ，且 $\vec{A P} = 2 \vec{P B}$ ，则 $|\vec{O P}| =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{109}}{3}$

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19、已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $S_{9} = 126$ ， $a_{4} + a_{10} = 40$ ，则 $\frac{2 S_{n} + 60}{n}$ 的最小值为．

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20、下列说法正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，则 $S_{k}$ ， $S_{2 k} - S_{k}$ ， $S_{3 k} - S_{2 k}$ ， …仍为等差数列 $(k \in N^{*})$ B、若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，则 $S_{k}$ ， $S_{2 k} - S_{k}$ ， $S_{3 k} - S_{2 k}$ ， $\dots$ 仍为等比数列 $(k \in N^{*})$ C、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{1} > 0$ ， $d < 0$ ，则前 $n$ 项和 $S_{n}$ 有最大值 D、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 5 a_{n} + 9, a_{1} = 4$ ，则 $\frac{1}{a_{1} - 2} + \frac{1}{a_{2} - 2} + \dots + \frac{1}{a_{n} - 2} < 1$

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