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相关试卷

1、定义：函数 $y = f (x)$ 图象上不同的三点A，B，C，它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数，设 $f (x) = a ln x - x$ ．

(1)、讨论 $y = f (x)$ 的极值；

(2)、若 $y = f (x)$ 是其定义域上的“等差偏移”函数，求a的取值范围；

(3)、当 $a = 1$ 时，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = f (a_{n}) + \frac{2 a_{n}^{2} + a_{n} + 1}{2 a_{n}}$ ， $a_{1} = \frac{3}{2}$ ，记前n项和为 $S_{n}$ ，试证明： $S_{n} < n + 1$ ．

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2、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，面积为 $S$ ，满足 $2 S = (b^{2} - a^{2}) sin B$ ．

(1)、求证： $B = 2 A$ ；

(2)、求 $\frac{2 a cos B - 3 b}{2 a}$ 的取值范围．

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3、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $x$ 轴上方的两点 $A, B$ 分别在双曲线的左右两支上，梯形 $A F_{1} F_{2} B$ 两底边满足 $B F_{2} = 2 A F_{1}$ ，以 $A B$ 为直径的圆过右焦点 $F_{2}$ ，则双曲线的离心率为．

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4、函数 $f (x) = |2 e^{x} - 1| - 2 x$ 的最小值为．

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5、已知正四棱台上底面边长为 $\sqrt{2}$ ，下底面边长为 $2 \sqrt{2}$ ，高为3，则该四棱台外接球的表面积为．

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ ，设 $m_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} (n \in N^{*})$ ，若 $\{a_{n}\}$ 满足性质 $Ω$ ：存在常数c，使得对于任意两两不等的正整数i、j、k，都有 $(i - j) m_{k} + (j - k) m_{i} + (k - i) m_{j} = c$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“梦想数列”，下列结论正确的是（）

A、若 $a_{n} = 2 n - 1$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为“梦想数列” B、若数列 $\{a_{n}\}$ 是“梦想数列”，则常数 $c = 0$ C、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为“梦想数列” D、若数列 $\{a_{n}\}$ 是“梦想数列”，则 $\{a_{n}\}$ 为等差数列

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7、已知函数 $f (x) = 4 x^{3} - 3 x + a$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、 $f (x)$ 的对称中心为 $(0, a)$ C、过点 $(1, a - 3)$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线有三条 D、若函数的一个零点在 $(- 1, 1)$ 之间，则它所有零点都在 $(- 1, 1)$ 之间

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8、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $z_{1} - z_{2} < 0,$ 则 $z_{1} < z_{2}$ B、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $∣ z_{1} ∣ = ∣ z_{2} ∣$ C、若 $∣ z_{1} + z_{2} ∣ = ∣ z_{1} - z_{2} ∣$ ，则 $\vec{O Z_{1}} \cdot \vec{O Z_{2}} = 0$ D、若 $\vec{O Z_{1}} ⊥ \vec{O Z_{2}}$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$

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9、已知函数 $f (x) = sin (\frac{5 π}{12} - 2 x) + sin (\frac{π}{12} + 2 x)$ ，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $θ (θ > 0)$ 个单位后，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 与 $f (x)$ 的图象关于y轴对称，则 $θ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7 π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{12}$

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10、已知正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $\frac{A_{1} C_{1}}{A C} = \frac{2}{3}$ ，点O为底面， $△ A B C$ 的重心，过点O， $A_{1}$ ， $C_{1}$ 的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（）

A、 $5 : 4$ B、 $12 : 7$ C、 $2 : 1$ D、 $15 : 4$

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11、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为 $A_{1}$ ．若 $∣ A F ∣ = ∣ A_{1} F ∣$ ，则 $∣ A F ∣ =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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12、已知直线 $l : m x + y + 2 m = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y = 0$ 交于A，B两点，则 $S_{△ A B C}$ 的最大值为（）

A、2 B、4 C、5 D、10

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13、已知9个数据： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{8}$ ， $x_{9}$ 的均值为 $\bar{x}$ ，方差为2，现将 $\bar{x}$ 加入，则新数据的方差为（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、2 C、 $\frac{18}{5}$ D、18

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14、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5} \cdot a_{6} \cdot a_{7} = 8$ ， $a_{2} + a_{6} = 20$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、36 B、 $\pm 6$ C、 $- 6$ D、6

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15、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为平面内一组基底， $\vec{A B} = \vec{e_{1}} + a \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C B} = \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 5 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}$ ，若A，B，D三点共线，则a的值为（）

A、2 B、 $- 2$ C、0 D、1

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16、设集合 $A$ 由全体二元有序实数组组成，在 $A$ 上定义一个运算，记为 $⊙$ ，对于 $A$ 中的任意两个元素 $α = (a, b), β = (c, d)$ ，规定： $α ⊙ β = (a d + b c, b d - a c)$ .

(1)、计算： $(2, 3) ⊙ (- 1, 4)$ ；

(2)、 $\forall α, β \in A$ ，是否都有 $α ⊙ β = β ⊙ α$ 成立，若是，请给出证明；若不是，请给出理由；

(3)、若“ $A$ 中的元素 $I = (x, y)$ ”是“对 $\forall α \in A$ ，都有 $α ⊙ I = I ⊙ α = α$ 成立”的充要条件，试求出元素 $I$ .

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17、二次函数 $y = x^{2} + (a - 1) x + 1 (a > 0)$ 只有一个零点，则不等式 $a x^{2} - 8 x - a \geq 0$ 的解集为.

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18、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 3 > 0$ ”的否定是.

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19、狄利克雷是德国著名数学家，函数 $D (x) = \{\begin{array}{l} 1, x 为有理数 \\ 0, x 为无理数 \end{array}$ 被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数 $D (x)$ 的结论中正确的是（）

A、 $D (x)$ 为偶函数 B、 $D (D (x))$ 为偶函数 C、 $\exists x \in R$ ，使得 $D (D (x)) = 0$ D、 $\forall x, y \in R, D (x + y) = D (x) + D (y)$

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20、（多选）如图所示的电路中，“开关 $S$ 闭合”是“灯泡 $L$ 亮”的充要条件的电路图是（）

A、 B、 C、 D、

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