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相关试卷

1、若 $a \in R$ ，则“ $a = 3$ ”是“ $(a + 1) (a - 3) = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $3 - i$ B、 $3 + i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$

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3、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x - 1}, x < 1 \\ x^{\frac{1}{3}}, x \geq 1 \end{array}$ $,$ 则使得 $f (x) \leq 2$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 8)$ B、 $(- \infty, 8]$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, 1]$

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4、若复数 $\frac{a + 3 i}{1 + 2 i}$ 是纯虚数，则实数 $a$ 的值是.

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5、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{5} a_{7} = 3, a_{3} a_{10} = 9$ ，则 $\frac{S_{10}}{S_{5}} =$ （）

A、243 B、244 C、81 D、82

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6、根据某地区气象水文部门长期统计，可知该地区每年夏季有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.05.
（1）从该地区抽取的 $n$ 年水文资料中发现，恰好3年无洪水事件的概率与恰好4年有洪水事件的概率相等，求 $n$ 的值；
（2）今年夏季该地区某工地有许多大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失20000元.为保护设备，有以下3种方案：
方案1：修建保护围墙，建设费为3000元，但围墙只能防小洪水.
方案2：修建保护大坝，建设费为7000元，能够防大洪水.
方案3：不采取措施.
试比较哪一种方案好，请说明理由.

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7、在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记 $C M = B N = a$ $(0 < a < \sqrt{2})$ ．

(1)、求MN的长；

(2)、当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．

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8、已知动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (4, 0)$ 的距离和M到定直线 $l : x = \frac{25}{4}$ 的距离的比是常数 $\frac{4}{5}$ ．

(1)、求动点M的轨迹E；

(2)、在E上是否存在一点使得它到直线 $4 x - 5 y + 40 = 0$ 的距离最小？若存在，请求出最小距离；若不存在，请说明理由．

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9、如图，正方形ABCD的边长为5，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形IJKL，依次方法一直继续下去，则所有这些正方形的面积之和趋近于．

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10、已知 $O$ 为坐标原点，直线 $y = x - 2$ 与抛物线 $y^{2} = 2 x$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $△ A O B$ 的面积为．

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11、若平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ， $|\vec{c}| = 3$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| =$ .

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12、已知A，B为双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 上不同两点，下列点中可为线段 $A B$ 的中点的是（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(\sqrt{2}, 1)$ D、 $(- 1, \frac{1}{2})$

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13、考虑以 $Ω$ 为样本空间的古典概型．设X和Y定义 $Ω$ 上，取值 ${0, 1}$ 的成对分类变量，则“ ${X = 0}$ 与 ${Y = 0}$ 独立”是“ ${X = 1}$ 与 ${Y = 1}$ 独立”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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14、空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作的平面个数为（）

A、42 B、56 C、64 D、81

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15、已知集合 $A = \{x \in Q |(x - 2) (x^{2} - 3) = 0\}$ ， $B = \{x |0 \leq x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${2, \sqrt{3}, - \sqrt{3}}$ B、 ${2, \sqrt{3}}$ C、 ${2}$ D、 $\emptyset$

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16、已知函数 $f (x) = - cos x$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{2} - 1$ ， $x \in [0, + \infty)$ .

(1)、判断 $g (x) \geq f (x)$ 是否对 $\forall x \in [0, + \infty)$ 恒成立，并给出理由；

(2)、证明：
①当 $0 < m < n < \frac{π}{2}$ 时， $\frac{sin m - sin n}{m - n} > cos n$ ；
②当 $a_{i} = \frac{1}{2^{i}} (i \in N^{*})$ ， $k_{i} = \frac{f^{'} (a_{i + 1}) - f^{'} (a_{i})}{a_{i + 1} - a_{i}} (i = 1 ， 2 ， \dots ， n - 1)$ 时， $\sum_{i = 1}^{n - 1} k_{i} > \frac{6 n - 7}{6}$ .

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17、设数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，前n项和为 $S_{n}$ 满足关系式： $3 t S_{n} - (2 t + 3) S_{n - 1} = 3 t$ ， $(t > 0, n \geq 2, n \in N)$ ．
（1）求证数列 ${a_{n}}$ 是等比数列；
（2）设数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $f (t)$ ，构造数列 ${b_{n}}$ ，使 $b_{1} = 2, b_{n} = 3 f (\frac{1}{b_{n - 1}})$ $(n \geq 2, n \in N)$ ，求数列 ${(2 n - 1) b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18、（1）求值： $C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + \dots + C_{10}^{2}$ ；
（2）解不等式： $3 A_{x}^{3} \leq 2 A_{x + 1}^{2} + 6 A_{x}^{2}$ .

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19、设函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程.

(2)、讨论函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上零点的个数.

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20、已知函数 $f (x)= \{\begin{matrix} \frac{1}{2} - |x - \frac{3}{2}| (x \leq 2) \\ e^{x -2} (- x^{2} +8 x -12) (x >2) \end{matrix}$ 若在区间 $(1,+∞)$ 上存在 $n (n ≥2)$ 个不同的数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{n}$ ，使得 $\frac{f (x_{1})}{x_{1}} = \frac{f (x_{2})}{x_{2}} =⋯= \frac{f (x_{n})}{x_{n}}$ 成立，则 $n$ 的最大值为．

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