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相关试卷

1、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，P，Q分别是线段 $A B$ ， $A_{1} D_{1}$ 上的动点，M是线段 $P Q$ 的中点，且满足 $P Q = 2 \sqrt{6}$ ，过 $P Q$ 作平面 $α$ ，使得 $B_{1} C / / α$ ，则（）

A、当 $\vec{A_{1} Q} = 2 \vec{Q D_{1}}$ 时， $A M ⊥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ B、当P为线段 $A B$ 中点时，直线 $B_{1} C$ 到平面 $α$ 的距离为 $\frac{10 \sqrt{11}}{11}$ C、直线 $P Q$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的最大角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2} - 1}{3}$ D、 $\vec{M C} \cdot \vec{M D}$ 的最小值为 $22 - 4 \sqrt{10}$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，且对任意m， $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{m + n} = a_{m} + a_{n} + 1$ ，则（）

A、 $a_{2} = 3$ B、 $a_{2025} = a_{2020} + a_{6} - 1$ C、 $a_{1011} + a_{1013} = a_{2024}$ D、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是递增数列

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3、已知曲线 $C : (3 - m) x^{2} + (m + 1) y^{2} = (3 - m) (m + 1)$ ，则（）

A、当 $m = 1$ 时，C是半径为 $\sqrt{2}$ 的圆 B、当 $- 1 < m < 1$ 时，C是焦点在x轴上的椭圆 C、当 $m > 3$ 时，C是焦点在x轴上的双曲线 D、当 $m = - 1$ 时，C是两条直线

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4、已知斐波那契数列 $\{F_{n}\}$ 满足 $F_{1} = F_{2} = 1$ ， $F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2} (n \geq 3, n \in N^{*})$ .卢卡斯数列 $\{L_{n}\}$ 满足 $L_{1} = 1$ ，且 $L_{n + 1} = F_{n} + F_{n + 2} (n \in N^{*})$ ，则 $F_{2025} =$ （）

A、 $\frac{2}{5} L_{2022} + \frac{1}{5} L_{2024}$ B、 $\frac{1}{3} L_{2023} + \frac{1}{5} L_{2025}$ C、 $\frac{1}{5} L_{2024} + \frac{1}{5} L_{2026}$ D、 $\frac{1}{3} L_{2025} + \frac{1}{7} L_{2027}$

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，一条渐近线方程为 $y = - \frac{\sqrt{10}}{2} x$ ，过 $F_{1}$ 作这条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，则 $\frac{|F_{1} A|}{|A B|} =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{7}{3}$

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6、已知在棱长为1的正四面体 $A B C D$ 中， $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $\vec{A N} = 3 \vec{N D}$ ，则直线 $A M$ 和 $C N$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{5}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{39}}{13}$

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7、已知圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 5$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + m = 0$ ，若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 恰有三条公切线，则 $m =$ （）

A、 $- 72$ B、 $- 12$ C、 $3$ D、 $5$

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8、已知 $A (- \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2})$ ， $B (1, \frac{1}{2}, 0)$ ， $C (0, 1, 0)$ ， $D (1, \frac{1}{2}, 1)$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{C D}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{9}, - \frac{1}{18}, \frac{1}{9})$ B、 $(- \frac{1}{9}, \frac{1}{18}, - \frac{1}{9})$ C、 $(\frac{3}{38}, - \frac{3}{76}, \frac{3}{38})$ D、 $(- \frac{3}{38}, \frac{3}{76}, - \frac{3}{38})$

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9、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = - 1$ ， $a_{4} = 64$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、51 B、 $- 13$ C、 $- 205$ D、 $- 256$

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10、已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} =$ （）

A、 $4 \ln 2$ B、 $\frac{4}{\ln 2}$ C、 $\frac{\ln 2}{2}$ D、 $\frac{1}{2 \ln 2}$

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11、已知直线l过点 $A (1, \sqrt{3})$ 和 $B (- 2, 0)$ ，则l的倾斜角为（）

A、 $120^{\circ}$ B、 $90^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$

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12、如图，设 $O x, O y$ 是平面内相交成 $α (0 < α < π)$ 的两条射线， ${\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}$ 分别为 $O x, O y$ 同向的单位向量，定义平面坐标系 $x O y$ 为 $α -$ 仿射坐标系，在 $α -$ 仿射坐标系中，若 $\vec{O P} = x {\vec{e}}_{1} + y {\vec{e}}_{2}$ ，则记 $\vec{O P} = (x, y)$ .

(1)、在 $α -$ 仿射坐标系中
①若 $\vec{a} = (m, n)$ ，求 $| \vec{a} |$ ；
②若 $\vec{a} = (- 1, 3), \vec{b} = (- 3, 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $\cos α$ ；

(2)、如上图所示，在 $\frac{π}{3} -$ 仿射坐标系中，B，C分别在 $x$ 轴， $y$ 轴正半轴上， $| \vec{B C} | = 1, \vec{O D} = \frac{7}{19} \vec{O C}, E, F$ 分别为BD，BC中点，求 $\vec{O E} \cdot \vec{O F}$ 的最大值.

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13、设 $C (M)$ 表示非空集合 $M$ 中元素的个数，已知非空集合 $A, B$ .定义 $A \otimes B = \{\begin{array}{l} C (A) - C (B), C (A) \geq C (B) \\ C (B) - C (A), C (A) < C (B) \end{array}$ ，若 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{x |(x^{2} + a x) (x^{2} + a x + 2) = 0\}$ 且 $A \otimes B = 1$ ，则实数 $a$ 的所有取值为（）

A、0 B、0， $- 2 \sqrt{2}$ C、0， $2 \sqrt{2}$ D、 $- 2 \sqrt{2}$ ， 0， $2 \sqrt{2}$

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14、在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量 $\vec{n} = (a, b, c)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .若直线l以 $\vec{n}$ 为方向向量且经过点 $P_{0}$ ，则直线l的标准式方程可表示为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} (a b c \neq 0)$ ；若平面 $α$ 以 $\vec{n}$ 为法向量且经过点 $P_{0}$ ，则平面 $α$ 的点法式方程可表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，一般式方程可表示为 $a x + b y + c z + d = 0$ .

(1)、证明：向量 $\vec{n} = (a, b, c)$ 是平面 $α : a x + b y + c z + d = 0$ 的法向量；

(2)、若平面 $α_{1} : x + 2 y - 1 = 0$ ，平面 $β_{1} : 2 y - z + 1 = 0$ ，直线l为平面 $α_{1}$ 和平面 $β_{1}$ 的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；

(3)、若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为 $α_{2}$ 、 $β_{2}$ 、 $γ$ ，其中平面 $α_{2}$ 经过点 $(4, 0, 0)$ ， $(3, 1, - 1)$ ， $(- 1, 5, 2)$ ，平面 $β_{2} : y + z = 4$ ，平面 $γ : m x + (m + 1) y + (m + 2) z + 3 = 0$ ，求实数m的值.

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15、如图所示，在四棱锥 $V - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，侧面 $V B C ⊥$ 底面 $A B C D$ 且 $V B = V C = B C = A B = 2 C D = 2$ ， E为 $V A$ 中点.

(1)、求证： $E B ⊥ A D$ ；

(2)、求二面角 $B - V D - A$ 的正弦值；

(3)、求点C到平面 $V A D$ 的距离.

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} + a_{2} = 3$ ， $S_{4} = 15$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = a_{n} + {(- 1)}^{n} (3 n - 1)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前2n项和 $T_{2 n}$ .

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17、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 1 = 0$ ，直线 $l : (2 m + 1) x + (m + 2) y - 3 m - 6 = 0$ .

(1)、求直线 $l$ 恒过定点的坐标；

(2)、求直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最短时 $m$ 的值以及最短弦长.

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18、正方形 $A B B_{1} A_{1}$ 的边长为12，其内有两点P，Q，点P到边 $A A_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ 的距离分别为3和1，点Q到边 $B B_{1}$ ， AB的距离也分别为3和1．现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和 $A_{1} B_{1}$ 重合（如图），则此时P，Q两点间的距离为．

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19、点 $M (x, y)$ 为圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 上的动点，则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围为.

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20、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，底面ABCD为菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $A A_{1}$ 与AB，AD所成的角均为 $60^{\circ}$ （）

A、 $\vec{B D_{1}} = \vec{A D} - \vec{A B} + \vec{A A_{1}}$ B、四边形 $B_{1} B D D_{1}$ 为矩形 C、 $∠ C_{1} A C = 30^{\circ}$ D、如果 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{4}{3} \vec{A A_{1}}$ ，那么点M在平面 $A_{1} B D$ 内

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