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相关试卷

1、如图，在直角三角形 $O A B$ 中， $A = \frac{π}{2}$ ，边 $O A$ 所在直线的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- 1$ D、 $1$

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2、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (1, x, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 4, 2)$ ， $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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3、已知 $f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) cos x + \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{3}) - \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $a f (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6}) - f (\frac{1}{2} x + \frac{π}{12}) \geq 2$ 对任意的 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

(3)、已知函数 $g (x) = sin (\frac{π}{4} x - \frac{π}{3})$ ，记方程 $g (x) = \frac{1}{3}$ 在 $x \in [0, 21]$ 上的根从小到大依次为 $x_{1}, x_{2}, \dots x_{n}$ ，求 $x_{3} + 2 x_{4} + \dots \dots + 2 x_{n - 1} + x_{n}$ 的值.

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4、如图，已知三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的侧棱垂直于底面， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $A^{'} B$ 和 $B^{'} C^{'}$ 的中点．

(1)、证明： $M N //$ 平面 $A A^{'} C^{'} C$ ；

(2)、设 $A B = λ A A^{'}$ ，当 $λ$ 为何值时， $C N ⊥$ 平面 $A^{'} M N$ ？试证明你的结论．

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5、已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .
（1）若 $\frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B}$ 且 $\sin^{2} A (2 - \cos C) = \cos^{2} B + \frac{1}{2}$ ，求角 $C$ 的大小；
（2）若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $A = \frac{π}{4}$ ， $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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6、如图，如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A B = 2 A D = 2$ ， $P D = B D = \sqrt{3} A D$ ，且 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离．

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7、已知 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (3 \vec{a} - 2 \vec{b}) = 8$ ，

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值：

(2)、求 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角.

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8、已知三棱锥 $P - A B C$ 三条侧棱 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 两两互相垂直，且 $P A = P B = P C = 6$ ， $M$ ， $N$ 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段 $M N$ 的长度的最小值为．

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9、如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段 $A C$ 、 $B D$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $A B$ ， $A B =4cm$ ， $A C =6cm$ ， $B D =8cm$ ， $C D =2 \sqrt{17} cm$ ，则这个二面角的度数为.

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10、如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形 $A B C$ 的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = \sqrt{3}$ ，则三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为.

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11、已知 $a > b > c > 0$ ，定义域和值域均为 $[- a, a]$ 的函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 的图像如图所示，给出下列四个结论，正确结论的是（）

A、方程 $f [g (x)] = 0$ 有且仅有三个解 B、方程 $g [f (x)] = 0$ 有且仅有二个解 C、方程 $f [f (x)] = 0$ 有且仅有五个解 D、方程 $g [g (x)] = 0$ 有且仅有一个解

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12、点O为 $△ A B C$ 所在平面内一点，则（）

A、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则点O为 $△ A B C$ 的重心 B、若 $\vec{O A} \cdot (\frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} - \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|}) = \vec{O B} \cdot (\frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} - \frac{\vec{B A}}{|\vec{B A}|}) = 0$ ，则点O为 $△ A B C$ 的内心 C、若 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则点O为 $△ A B C$ 的垂心 D、在 $△ A B C$ 中，设 ${\vec{A C}}^{2} - {\vec{A B}}^{2} = 2 \vec{A O} \cdot \vec{B C}$ ，那么动点O的轨迹必通过 $△ A B C$ 的外心

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13、如图所示， $A B$ 是半圆 $O$ 的直径， $V A$ 垂直于半圆 $O$ 所在的平面，点 $C$ 是圆周上不同于 $A, B$ 的任意一点， $M, N$ 分别为 $V A$ ， $V C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $M N$ $∥$ 平面 $A B C$ B、平面 $V A C ⊥$ 平面 $V B C$ C、 $M N$ 与 $B C$ 所成的角为 $45^{\circ}$ D、 $O C ⊥$ 平面 $V A C$

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14、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B_{1} D_{1}$ 上一动点（包括端点），则（）

A、三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的体积为定值 $\frac{1}{3}$ B、当点 $P$ 与 $B_{1}$ 重合时，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的外接球的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} π$ C、过点 $P$ 平行于平面 $A_{1} B D$ 的平面被正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截得的多边形的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、直线 $P A_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$

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15、已知向量 $\overset{⃑}{A B} = (1, 4), \overset{⃑}{B C} = (m, - 1)$ ，若 $\overset{⃑}{A B} / / \overset{⃑}{A C}$ ，则实数m的值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、﹣4 C、4 D、 $- \frac{1}{4}$

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16、已知函数 $f (x) = a^{x} + a^{- x} (a > 0)$ ，且 $f (1) = 3$ ，则 $f (0) + f (1) + f (2)$ 的值是

A、14 B、13 C、12 D、11

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17、攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为 $2 \sqrt{3} m$ ，顶角为 $\frac{π}{3}$ 的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（）

A、 $2 π$ $m^{3}$ B、 $3 π$ $m^{3}$ C、 $4 π$ $m^{3}$ D、 $6 π$ $m^{3}$

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18、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个互斥事件，且 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{2}{5}$ ，则 $P (\bar{A + B}) =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{10}$ D、 $\frac{2}{3}$

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19、已知函数 $f (x) = \log_{2} (x + a)$ 的反函数图象过点 $(0, - 1)$ ，则 $a =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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20、设a为常数，函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x - a \sin x - 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、讨论 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上的零点的个数；

(3)、设n为正整数， $f (x)$ 在区间 $(0, n π)$ 上恰有2025个零点，求所有可能的正整数n的值.

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