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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ .

(1)、若点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆C上，证明：直线 $\frac{x_{0} x}{4} + y_{0} y = 1$ 与椭圆C相切；

(2)、设曲线 $O : x^{2} + y^{2} = 1 (x \neq 0)$ 的切线l与椭圆C交于 $A, B$ 两点，且以 $A, B$ 为切点的椭圆C的切线交于M点，求 $△ M A B$ 面积的取值范围.

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2、已知 $S_{n}$ 为公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{2 n} = λ a_{n} + 1 (λ \in R, n \in N^{*})$ ．

(1)、求 $λ$ 的值；

(2)、若 $S_{4} = 4 S_{2}$ ，求证： $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} < \frac{1}{2}$ ．

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3、某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：
年份
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码 $x$
1
2
3
4
5
年收入 $y$ （千元）
59
61
64
68
73

(1)、根据表中数据，现决定使用 $y = b x^{2} + a$ 模型拟合 $y$ 与 $x$ 之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）

(2)、统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由.
参考数据及公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .设 $t = x^{2}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) = 217$ ， $\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} = 374$ .

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4、已知实数 $a > 0$ ，若函数 $f (x) = e^{x} + a \cos x (x > 0)$ 有且仅有2个极值点，则 $a$ 的取值范围是．

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5、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.若 $a_{3} = 4 a_{1}$ ，则 $\frac{S_{8}}{S_{4}} =$ .

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6、设 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的可导函数，若存在非零常数 $λ$ ，使得 $f (x + λ) = (1 - λ) f (x)$ 对任意的实数 $x$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $H (λ)$ .则（）

A、若函数 $f (x)$ 具有性质 $H (λ)$ ，则导函数 $f^{'} (x)$ 也具有性质 $H (λ)$ B、若 $f (x)$ 具有性质 $H (2)$ ，则 $f (1) + f (2023) = 2$ C、若 $f (x)$ 具有性质 $H (\frac{1}{2})$ ，且 $f (0) = 1$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} f (i) < \frac{1}{3}$ D、若函数 $f (x) = a^{x} (0 < a < 1)$ 具有性质 $H (λ)$ 且 $λ > 0$ ，则 $a$ 的取值范围是 $0 < a < \frac{1}{e}$

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7、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos^{2} \frac{x}{2}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $π$ 为 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 在 $x = - \frac{π}{3}$ 处取得极小值 C、对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | \leq \sqrt{3}$ D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 上有2个零点

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8、某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为 $l_{1} : y = 0.68 x + \hat{a}$ ，计算其相关系数为 $r_{1}$ ．经过分析确定点F为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为 $l_{2} : y = \hat{b} x + 0.68$ ，相关系数为 $r_{2}$ ，以下结论中，正确的是（　　）

A、 $r_{1} > 0, r_{2} > 0$ B、 $r_{1} > r_{2}$ C、 $\hat{a} = 0.12$ D、 $0 < \hat{b} < 0.68$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $1$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} \frac{n + 2}{n} a_{n} + \cos n π, n 为奇数 \\ a_{n} + \cos n π, n 为偶数 \end{array}$ ，则数列 $\{a_{n} \cdot 2^{a_{n}}\}$ 的前2024项和为（）

A、 $2023 \cdot 2^{2024} + 2$ B、 $2023 \cdot 2^{2025} - 2$ C、 $2023 \cdot 2^{2024} + 1$ D、 $2023 \cdot 2^{2025} + 2$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} = 2^{\frac{n^{2} + n}{2}}$ ，若函数 $f (x) = \frac{x (x - a_{2}) (x - a_{4}) \dots (x - a_{2024})}{(x - a_{1}) (x - a_{3}) \dots (x - a_{2023})}, f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (0) =$ （）

A、2 B、 $2^{1012}$ C、 $2^{2023}$ D、 $2^{2024}$

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11、对于独立性检验，下列说法正确的是（）

A、卡方独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立 B、卡方的值可以为负值 C、卡方独立性检验显示“患慢性气管炎和吸烟习惯有关”即指“有吸烟习惯的人必会患慢性气管炎” D、 $2 \times 2$ 列联表中的4个数据可为任何实数

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12、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ， $P (X > 1) = 0.7$ ，则 $P (2 < X < 3) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.6 D、0.7

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13、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{4} + a_{5} + a_{6} = 60$ ，则 $a_{2} + a_{8}$ 的值为（）

A、15 B、20 C、30 D、40

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14、设抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $D (2, 0)$ ，过 $F$ 的直线交 $C$ 于 $M, N$ 两点，直线 $M D, N D$ 与 $C$ 的另一个交点分别为 $A, B$ ，记直线 $M N, A B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ .

(1)、求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；

(2)、直线 $A B$ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标．

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15、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a \ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有极小值，且极小值大于 $(1 - \frac{1}{2} e^{2}) a$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为长方形， $C D = \sqrt{2} A D$ ， $P A = P B$ ， E，M，Q，N分别为线段AB，CD，BC，PD的中点，平面 $P A B ⊥$ 底面ABCD.求证：

(1)、 $P E //$ 平面AMN；

(2)、平面 $Q M N ⊥$ 平面AMN.

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17、已知函数 $f (x) = \log_{a} x (a > 0 且 a \neq 1)$

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{4}, 16]$ 上的最大值是 $2$ ，求实数a的值；

(2)、若函数 $g (x) = 2^{x^{2} - 2 x + a}$ 的值域为 $[2, + \infty)$ ，求不等式 ${log}_{a} (1 - t) \leq 1$ 的实数t的取值范围．

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18、已知直线 $k x - y - 1 = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．若 $∠ A O B = 60 °$ ，则实数 $k =$ ．

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19、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的上顶点为B，两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{3}$ ， P为线段F₁F₂上动点，且P到直线 $B F_{1}, B F_{2}$ 的距离之和为 $4 \sqrt{2}$ ，则椭圆C的标准方程为．

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20、设函数 $g (x) = \{\begin{array}{l} \begin{matrix} e^{x} & x < 0 \\ - g (x - 1) & x \geq 0 \end{matrix} \end{array}$ ，则 $g (g (8)) =$ ．

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年份	2019	2020	2021	2022	2023
年份代码 $x$	1	2	3	4	5
年收入 $y$ （千元）	59	61	64	68	73