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相关试卷

1、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $4 \sqrt{2}$ ，点 $P (2 \sqrt{2}, 2)$ 在椭圆 $E$ 上.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、点 $A$ ， $B$ ， $D$ 为椭圆 $E$ 上不同三点，且 $B$ ， $D$ 关于原点对称，以 $A B$ ， $A D$ 为邻边作平行四边形 $A B C D$ ，已知平行四边形 $A B C D$ 存在内切圆.
（i）判断该内切圆是否为定圆，若不是，说明理由，若是，求出它的方程；
（ii）求平行四边形 $A B C D$ 的面积的取值范围.

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2、如图，把 $∠ A B C = 60 °$ 的菱形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 翻折，E，F，G，H分别为 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 的中点，O是菱形 $A B C D$ 对角线的交点.

(1)、证明：E，F，G，H四点共面；

(2)、若菱形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 翻折成直二面角，求折纸后异面直线 $A B$ ， $D C$ 所成角的余弦值；

(3)、若菱形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 翻折到使异面直线 $A B$ ， $D C$ 的所成角为 $\frac{π}{2}$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $A D C$ 的夹角的余弦值.

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3、已知直线 $l$ ： $x + m y + 1 = 0$ 与以C为圆心的圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 交于A、B两点.

(1)、当 $m = 1$ 时，求弦长 $|A B|$ ；

(2)、当 $△ A B C$ 面积为 $\sqrt{3}$ 时，求 $△ A B C$ 的外接圆的方程.

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4、一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球.

(1)、写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率；

(2)、分别求第二次，第三次摸到红球的概率，并由此得到什么结论?

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5、双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的左，右焦点， $O$ 为坐标原点，过 $C$ 右支上一点 $A (x_{0}, y_{0}) (x_{0} > \sqrt{3})$ 作双曲线的切线交 $x$ 轴于点 $M$ ，过点 $F_{1}$ 作 $F_{1} H ⊥ A M$ ，垂足为 $H$ ，则 $|O H| =$ .

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6、某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度 $A B = 24 m$ ，拱高 $O P = 6 m$ ，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则 $A_{1} P_{1} =$ m.

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7、过点 $(1, 1)$ ，方向向量为 $(2, - 3)$ 的直线方程是.

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8、我们把由半椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \geq 0)$ 与半椭圆： $\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{x^{2}}{c^{2}} = 1 (x \leq 0)$ 合成的曲线称作“果圆”，其中 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ， $a > b > c > 0$ .如图，设点 $F_{0}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是相应椭圆的焦点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 和 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，是“果圆”与x，y轴的交点，叫做“果圆”的顶点， $M$ 是线段 $A_{1} A_{2}$ 的中点， $P$ 为“果圆”上任意一点.则（）

A、若半椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (x \geq 0)$ ，则两个半椭圆离心率的乘积为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、若 $△ F_{0} F_{1} F_{2}$ 是边长为1的等边三角形，则“果圆”部分方程为 $y^{2} + \frac{4 x^{2}}{3} = 1 (x \leq 0)$ C、若 $|A_{1} A_{2}| > |B_{1} B_{2}|$ ，则 $\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{b}{a} < \frac{4}{5}$ D、若 $|P M|$ 取得最小值，则 $P$ 为“果圆”的顶点

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9、一个正四面体的四个面分别标有数字1，2，3，4，任意抛掷两次，观察它与地面接触的面上的数字，事件A表示“第一次的数字小于3”，事件B表示“第二次的数字为奇数”，事件C表示“两次的数字和为7”，则下列说法正确的是（）

A、 $P (A \cup B) = 1$ B、 $P (B \cup C) = \frac{9}{16}$ C、事件A和事件B相互独立 D、事件B和事件C相互独立

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10、下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} = 1$ ，直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A_{1} B C D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则该正四棱柱的体积等于（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{1}{8}$

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12、设直线 $l$ 的方程为 $x - y \sin θ + 1 = 0 (θ \in [0, π))$ ，则直线 $l$ 的倾斜角的范围是（）

A、 $[0, π)$ B、 $(0, \frac{π}{4}]$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ D、 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$

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13、斜率为 $1$ 的直线经过抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点，且与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点，则线段 $A B$ 的长为（）

A、 $8$ B、 $\frac{13}{2}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、 $4$

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14、柜子里有3双不同的鞋，从中随机地取出2只，则“取出的鞋不成双”的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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15、如图，在平行六面体中，M为 $A_{1} C_{1}$ ， $B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\vec{D A} = \vec{a}$ ， $\vec{D C} = \vec{b}$ ， $\vec{D D_{1}} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{D M} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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16、已知 $M$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是其左右焦点，则（）

A、椭圆的焦距为 $2 \sqrt{3}$ B、 $|M F_{1}| + |M F_{2}| = 16$ C、椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值是 $2 \sqrt{3}$

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17、已知圆 $C_{1}$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} + 6 y + 5 = 0$ ，则两圆的位置关系为（）

A、外离 B、相交 C、相切 D、内含

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18、已知 $a + b = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ．

(1)、求 ${(\frac{1}{3})}^{a} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2 b}$ 的取值范围；

(2)、求 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值；

(3)、若 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{b^{2}} - \frac{2 b}{a} > m$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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19、已知二次函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(0, - 5)$ 和 $(6, - 5)$ ，且函数在 $x \in R$ 上的最大值为4.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $\frac{1}{2} f (x) + (m - 3) x \leq m^{2} + m - 4$ 对于一切实数x均成立，求实数m的取值范围.

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20、已知集合 $A = \{x| x^{2} + 2 x - 3 < 0\}$ ，集合 $B = \{x| |x + a| < 1\}$ .
（1）若a=3，求A∩B和A∪B；
（2）设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

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