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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，点 $P$ 为 $△ A M N$ 的外心.
（i）若 $△ A M N$ 为等边三角形，求点 $P$ 的坐标；
（ii）若点 $P$ 在直线 $x = - \frac{1}{3}$ 上，求点 $A$ 到直线 $l$ 的距离的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = e^{a x} \ln x$ ，其中 $a > 0$ .

(1)、若 $y = f (x)$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为 $\frac{e}{2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $x = x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极小值点，证明： $f (x_{0}) < - e$ .

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3、如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = A D = 2$ ， $∠ A^{'} A B = ∠ A^{'} A D$ 且 $A^{'} B ⊥ A C$ ，设 $A C$ 与 $B D$ 的交于点 $O$ .

(1)、证明： $A^{'} O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A A^{'} = 3$ ，且 $∠ B A D = 60 °$ ，求直线 $A^{'} B$ 与平面 $A^{'} B^{'} C D$ 所成角的正弦值.

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4、甲同学计划去参观某景点，但门票需在网上预约.该同学从第一天开始，每天在规定的预约时间段开始预约，若预约成功，便停止预约；若连续预约三天都没成功，则放弃预约.假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7，

(1)、求甲同学到第三天才预约成功的概率；

(2)、记 $X$ 为甲同学预约门票的天数，求 $X$ 的分布列和期望 $E (X)$ .

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且外接圆半径为 $R = 5$ ，则 $\frac{a b c}{a^{2} + b^{2} + 2 c^{2}}$ 的最大值为.

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6、如图所示，将一个圆心角为 $120^{\circ}$ 的扇形纸板 $O A B$ 剪掉扇形 $O C D$ ，得到扇环 $A B D C$ ，现将扇环 $A B D C$ 围成一个圆台侧面.若 $O A = 2 O C = 6$ ，则该圆台的体积为.

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7、已知长为2的线段 $A B$ 的两个端点 $A$ 和 $B$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上滑动，则线段 $A B$ 的中点的轨迹方程是.

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若存在常数 $T$ 与 $H$ ，且 $T > 0$ ，使得任意 $x \in R$ ，恒有 $f (x + T) = f (x) + H$ ，则称函数 $f (x)$ 是广义周期函数.下列说法正确的有（）

A、一次函数 $f (x) = k x + b$ （ $k, b$ 为常数）是广义周期函数 B、若 $f (x)$ 是广义周期函数，则存在实数 $k$ ，使得 $f (x) - k x$ 是周期函数 C、若 $f (x)$ 有两个不同的对称中心，则 $f (x)$ 是广义周期函数 D、若 $f (x)$ 与 $g (x)$ 都是广义周期函数，则 $f (x) + g (x)$ 也是广义周期函数

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9、已知 $S_{n}$ 是等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{3}, S_{9}, S_{6}$ 成等差数列，则（）

A、 $a_{2}, a_{5}, a_{8}$ 成等比数列 B、 $a_{2}, a_{8}, a_{5}$ 成等差数列 C、 $S_{2}, S_{5}, S_{8}$ 成等比数列 D、 $S_{2}, S_{8}, S_{5}$ 成等差数列

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10、为了解某种新产品的加工情况，并设定工人每天加工该产品的最少数量.相关部门从工厂随机抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量.现将这些观测数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），绘制出如图所示的频率分布直方图，则（）

A、样本观测数据的极差不大于50 B、样本观测数据落在区间 $[65, 75)$ 上的频率为0.025 C、样本观测数据的平均数大于中位数 D、若将工人每天加工产品的最少数量设为55，估计80%的工人能完成任务

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 4^{x}, x \geq a \\ - 2 \log_{2} x, 0 < x < a \end{cases}$ ，若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, \frac{1}{2}]$

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12、已知抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上两点 $A, B$ 满足 $|A B| = 12$ ，若线段 $A B$ 的中点 $M$ 的纵坐标的最小值为4，则 $p =$ （）

A、2 B、4 C、5 D、6

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13、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = 3, ∠ B A C = 60^{\circ}$ .若 $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{7} \vec{A B} + \frac{6}{7} \vec{A C}$ B、 $\frac{6}{7} \vec{A B} + \frac{1}{7} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A C}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$

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14、若 $f (x) = sin x + \sqrt{3} cos x$ 在区间 $[- θ, θ]$ 上是增函数，则 $tan θ$ 的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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15、已知函数 $f (x)$ 的图象如下图所示，则其导函数 $f^{'} (x)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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16、已知角 $α$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，终边经过点 $(- \frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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17、若空间中三条不同直线 $a, b, c$ 满足 $a ⊥ b$ ，且 $b // c$ ，则直线 $a$ 与直线 $c$ 必定（）

A、平行 B、相交 C、垂直 D、异面

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18、已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $i^{7}$ 的值是（）

A、1 B、 $- 1$ C、i D、 $- i$

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19、已知点 $P_{1} (t + 1, t)$ 在抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 上，按照如下方法依次构造点 $P_{n} (n = 2, 3, 4 \dots)$ ，过点 $P_{n - 1}$ 作斜率为 $- 1$ 的直线与抛物线 $C$ 交于另一点 $Q_{n - 1}$ ，令 $P_{n}$ 为 $Q_{n - 1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求 $t$ 的值；

(2)、求证：数列 $\{x_{n}\}$ 是等差数列，并求 $x_{n}, y_{n}$ ；

(3)、求 $△ P_{n} P_{n + 1} P_{n + 2}$ 的面积．

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20、足球比赛积分规则为：球队胜一场积 $3$ 分，平一场积 $1$ 分，负一场积 $0$ 分．常州龙城足球队 $2024$ 年 $10$ 月将迎来主场与 $A$ 队和客场与 $B$ 队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与 $A$ 队比赛：胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，平的概率为 $\frac{1}{6}$ ，负的概率为 $\frac{1}{6}$ ；客场与 $B$ 队比赛：胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，平的概率为 $\frac{1}{6}$ ，负的概率为 $\frac{1}{2}$ ，且两场比赛结果相互独立．

(1)、求常州龙城队 $10$ 月主场与 $A$ 队比赛获得积分超过客场与 $B$ 队比赛获得积分的概率；

(2)、用 $X$ 表示常州龙城队 $10$ 月与 $A$ 队和 $B$ 队比赛获得积分之和，求 $X$ 的分布列与期望．

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