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1、若方程 $(x^{2} - 2 x + m) (x^{2} - 2 x + n) = 0$ 的四个根组成一个首项为 $\frac{1}{4}$ 的等差数列，则 $|m - n| =$ （）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{8}$

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2、已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）

A、 $2 π R^{2}$ B、 $\frac{9}{4} π R^{2}$ C、 $\frac{8}{3} π R^{2}$ D、 $\frac{3}{2} π R^{2}$

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3、存在狄利克雷函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 0, x 为无理数 \\ 1, x 为有理数 \end{matrix}$ ，若 $x = {(\sqrt{2})}^{- 1 + y^{2}}$ ， $y \in [0, 5]$ ，则 $f (x)$ 的所有值之和为（）

A、3 B、6 C、12 D、13

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4、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ $(a > 0)$ 两个焦点 $F_{1}, F_{2}$ ，焦距为8，M为曲线上一点， $|M F_{1}| = 5,$ 则 $| M F_{2} | =$ （）

A、1 B、1或9 C、9 D、3

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5、已知空间中向量 $\vec{A B}$ =（0，1，0），向量 $\vec{A C}$ 的单位向量为（ $- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3} ， - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ），则点B到直线AC的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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6、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cdot \cos x + \sqrt{3} \cos 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 $f (A) = 0$ 且 $a = 3$ ，求 $b + c$ 的取值范围．

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7、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B C ∥ A D, B C = 1, A D = 3, △ A B C$ 为等边三角形， $E$ 是边 $C D$ 上靠近 $C$ 的三等分点.设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A C}, \vec{A E}$ ；

(2)、求 $∠ B A E$ 的余弦值.

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8、已知向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ ，若 $|\overset{⃑}{a}| = 2 |\overset{⃑}{b}| = 2$ ， $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = - 1$

(1)、求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角θ；

(2)、求 $|2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ；

(3)、当λ为何值时，向量 $λ \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 与向量 $\overset{⃑}{a} - 3 \overset{⃑}{b}$ 互相垂直？

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9、函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin ω x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos ω x (ω > 0)$ 在 $x \in [0, π]$ 上恰有 $2$ 个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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10、如图，在矩形ABCD中，AB＝ $\sqrt{2}$ ， BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A F}$ ＝ $\sqrt{2}$ ，则 $\overset{⃑}{A E} \cdot \overset{⃑}{B F}$ 的值是．

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11、如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A^'B^'C^'D^' ，则原四边形ABCD的面积是．

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $A ＞ B$ ，则 $sin A ＞ sin B$ B、若 $\frac{a}{cos B} = \frac{b}{cos A}$ ，则 $△ A B C$ 为一定是等腰三角形 C、 $\frac{a}{sin A} = \frac{b + c}{sin B + sin C}$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $sin A ＞ cos B$

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13、已知下列四个命题为真命题的是（）

A、已知非零向量 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{c}$ ，若 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{b} // \overset{⃑}{c}$ ，则 $\overset{⃑}{a} // \overset{⃑}{c}$ B、若四边形 $A B C D$ 中有 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{D C}$ ，则四边形 $A B C D$ 为平行四边形 C、已知 $\overset{⃑}{e_{1}} = (1, - 2)$ ， $\overset{⃑}{e_{2}} = (- 2, 4)$ ， $\overset{⃑}{e_{1}}$ ， $\overset{⃑}{e_{2}}$ 可以作为平面向量的一组基底 D、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (- 1, 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (3, 1)$ ，则 $\overset{⃑}{b}$ 在 $\overset{⃑}{a}$ 方向上的投影向量的模为 $\sqrt{2}$

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14、如图，所有棱长都等于 $2 \sqrt{3}$ 的三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有顶点都在球 $O$ 上，球 $O$ 的体积为（）

A、 $27 \sqrt{3} π$ B、 $\frac{28 \sqrt{21} π}{3}$ C、 $28 \sqrt{7} π$ D、 $\frac{28 \sqrt{7}}{3} π$

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15、把函数 $y = \sin (2 x + \frac{4 π}{3})$ 的图像向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度，所得图像关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{π}{6}$

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16、已知 $α$ 、 $β$ 为锐角，且 $\sin β = \frac{3}{5}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{5}{13}$ ，则 $\sin α$ 的值为（）

A、 $\frac{63}{65}$ B、 $\frac{33}{65}$ C、 $- \frac{48}{65}$ D、 $\frac{48}{65}$

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17、把一个铁制的底面半径为 $4$ ，侧面积为 $\frac{16}{3} π$ 的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{6}$

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18、设集合 $A = \{2, 4, 6\}$ ， $B = \{1, 3, 6\}$ ，则如图中阴影部分表示的集合是.

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19、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - a x - ln x (a > 0)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求证： $f (x)$ 有唯一极值点；

(3)、若 $f (x)$ 有唯一零点 $x_{0}$ ，求证： $1 < x_{0} < 2$ .

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20、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\{b_{n}\}$ 为公比大于0的等比数列， $a_{1} = 1, b_{1} = 1, b_{2} + b_{3} = 6$ ， $a_{2} + 2 a_{4} = b_{5} + 1$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n + 1} = c_{n} + 2^{n}, c_{1} = 3$ ，对任意的 $m \in N^{*}$ ，将数列 $\{a_{n}\}$ 中落入区间 $[b_{m}, c_{m}]$ 内的项的个数记为 $d_{m}$ .
（i）求 $\{c_{n}\}$ 的通项公式及 $d_{1}$ 和 $d_{10}$ 的值；
（ii）记数列 $\{a_{m} d_{m}\}$ 的前 $m$ 项和为 $T_{m}$ ，请问是否存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $9 (T_{m} + 2) = 5 m \cdot 3^{m - 1}$ ，若存在，求出所有 $m$ 的值，若不存在，请说明理由.

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