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1、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知向量 $\vec{m} = (\cos A, 1 + \sin A)$ ， $\vec{n} = (1 + \cos 2 B, - \sin 2 B)$ .

(1)、设单位向量 $\vec{j} = (0, 1)$ ，若 $\vec{m} - 2 \vec{j}$ 与 $\vec{n}$ 共线，且 $B = \frac{π}{6}$ ，求 $A$ ；

(2)、当 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ 时：
（i）若 $C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $B$ ；
（ii）求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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2、定义：已知两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ .我们把数量 $|\vec{a}| |\vec{b}| \sin θ$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的叉乘 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的模，记作 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ ，即 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin θ$ .

(1)、若向量 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，求 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ ；

(2)、若平行四边形 $A B C D$ 的面积为4，求 $|\vec{A B} \times \vec{A D}|$ ；

(3)、若 $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的最小值.

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3、如图所示， $△ A B C$ 的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 点上.岛屿 $A$ 到补给站 $D$ 的距离为岛屿 $A$ 到 $B$ 的 $\frac{2}{5}$ ，岛屿 $A$ 和岛屿 $C$ 到补给站 $E$ 的距离相等，补给站 $F$ 在靠近岛屿 $C$ 的 $B C$ 的三等分点上.设 $\vec{C B} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{E F}$ ， $\vec{C D}$ ；

(2)、如果 $∠ A C B = 60 °$ ， $A C = 20$ 海里，且 $C D ⊥ E F$ ，求岛屿 $C$ 到补给站 $D$ 的距离 $|\vec{C D}|$ 以及岛屿 $A$ 到 $B$ 的距离 $|\vec{A B}|$ .

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4、已知 $\vec{A B} = (- 1, 3)$ ， $\vec{B C} = (3, m)$ ， $\vec{C D} = (1, n)$ ，且 $\vec{A D} / / \vec{B C}$ .

(1)、求实数 $n$ 的值；

(2)、若 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、在 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ 的条件下，取 $\vec{B C}$ 不垂直于 $\vec{C D}$ 的情形，求向量 $\vec{B C}$ 在 $\vec{A B}$ 的投影向量（结果用坐标表示）.

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b = 2 c - 2 a \cos B$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 3 \sqrt{3}$ ， $c = 2 b$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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6、四边形 $A B C D$ 中，点 $E, F$ 分别是 $A B, C D$ 的中点， $A B = 2$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ ， $E F = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为.

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7、正方形 $A B C D$ 的边长为 $a$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $F$ 是 $B C$ 边上靠近点 $B$ 的三等分点， $A F$ 与 $D E$ 交于点 $M$ ，则 $∠ D M F$ 的余弦值为.

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8、下列说法中正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}$ ， $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、已知点 $O$ 是平面上的一个定点，并且 $A$ ， $B$ ， $C$ 是平面上不共线的三个点，动点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) (λ \in (0, + \infty))$ ，则点 $P$ 的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的内心 C、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$ D、在 $△ A B C$ 中，若 $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $△ A O C$ 与 $△ A O B$ 的面积之比为 $\frac{3}{5}$

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9、已知在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $a > b$ B、 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ C、若 $\sin A < \sin C$ ，则 $\cos A < \cos C$ D、 $\sin A + \sin B + \sin C > \cos A + \cos B + \cos C$

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10、点 $O$ 在 $△ A B C$ 所在的平面内，以下说法正确的有（）

A、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心 B、若 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心 C、若 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = (\vec{O C} + \vec{O A}) \cdot \vec{C A} = 0$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的内心 D、若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心

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11、平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $\vec{a} = (4, 0)$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 等于（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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12、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (- 3, 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, - 2)$ ，则向量 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 夹角的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $135 °$

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13、已知向量 $\vec{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数m等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、-2 D、2

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14、 $\tan 150 ° =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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15、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上有2个零点

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16、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ， $x \in (1, + \infty)$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $f (8) > f (k^{2} + 2 k + 4)$ B、 $f (6) > f (k^{2} + 2 k + 4)$ C、 $f (4) < f (k^{2} + 2 k + 4)$ D、 $f (2) < f (k^{2} + 2 k + 4)$

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17、函数 $f (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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18、设集合 $A = {1, 3, 5, 7}, B = {x ∣ 3 \leq x < 6}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 3\}$ B、 $\{3, 5\}$ C、 $\{5, 7\}$ D、 $\{1, 7\}$

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{23} > 0$ ， $S_{24} < 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、 $a_{13} > 0$ C、当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 12$ D、 $|a_{13}| > |a_{12}|$

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20、已知空间中三点 $A (2, 0, - 2)$ ， $B (1, - 1, - 2)$ ， $C (3, 0, - 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、已知 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，求 $k$ 的值；

(2)、若 $|\vec{c}| = 6$ ，且 $\vec{c}$ ∥ $\vec{B C}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标.

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