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相关试卷

1、设 $O$ 为坐标原点， $P$ 为椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 与双曲线 $C_{2} : x^{2} - y^{2} = 1$ 在第一象限的公共点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C_{1}$ 的左、右焦点，则（）

A、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的焦点相同 B、 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 2$ C、 $|P F_{1}| = 3$ D、 $|O P| = \sqrt{2}$

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2、如图，二面角 $α - l - β$ 的棱上有两个点 $A, B$ ，线段 $A C$ 与 $B D$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $l$ ．若 $A B = 1$ ， $A C = 2$ ， $B D = 3$ ，二面角 $α - l - β$ 的平面角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $C D =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，渐近线为 $l_{1}, l_{2}$ ，过 $F$ 且垂直于 $l_{1}$ 的直线分别交 $l_{1}, l_{2}$ 于 $M, N$ 两点，且 $\vec{F M} = - \frac{1}{2} \vec{F N}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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4、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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5、已知 $P$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ 的左、右焦点．若点 $P$ 的横坐标为 $\sqrt{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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6、抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第一枚硬币正面朝上”，事件 $B =$ “第二枚硬币反面朝上”，则下述正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 互为对立事件 B、 $A$ 与 $B$ 互斥 C、 $A$ 与 $B$ 相等 D、 $A$ 与 $B$ 相互独立

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7、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ 的位置关系是（）

A、内切 B、外切 C、相交 D、相离

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8、从 $1 ～ 9$ 这9个数字中随机选择一个数，则这个数平方的个位数字为1的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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9、直线 $\sqrt{3} x - y = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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10、某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在 $[20, 70]$ 内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：
年龄段
类型
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70]$
单次购物金额满188元
8
15
23
15
9
单次购物金额不满188元
2
3
5
9
11

(1)、为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？

(2)、在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.

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11、下列求导不正确的是（）

A、 ${(sin x - sin \frac{π}{6})}^{'} = cos x - sin \frac{π}{6}$ B、 ${[{(2 x + 1)}^{2}]}^{'} = 2 (2 x + 1)$ C、 ${({log}_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x ln 2}$ D、 ${(2^{x} + x^{2})}^{'} = 2^{x} + 2 x$

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12、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $B C = 2 A E = 2$ ，则向量 $\vec{A E}$ 与 $\vec{A_{1} C}$ 的夹角是（　　）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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13、1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段 $A B$ 与 $C D$ 所在直线异面垂直， $E ､ F$ 分别为 $A B ､ C D$ 的中点，且 $E F ⊥ A B, E F ⊥ C D$ ，线拐子使用时将丝线从点 $A$ 出发，依次经过 $D ､ B ､ C$ 又回到点 $A$ ，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中 $A B = E F = C D = 30 cm$ ，则丝线缠一圈长度为（）

A、 $90 \sqrt{2} cm$ B、 $90 \sqrt{3} cm$ C、 $60 \sqrt{6} cm$ D、 $80 \sqrt{3} cm$

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14、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如下，则下面判断正确的是（）

A、在区间 $(- 2, 1)$ 上 $f (x)$ 是增函数 B、在 $(1, 2)$ 上 $f (x)$ 是减函数 C、当 $x = 4$ 时， $f (x)$ 取极大值 D、在 $(4, 5)$ 上 $f (x)$ 是增函数

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15、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 4) ， \vec{b} = (- 1, 5, - 2) ， \vec{c} = (1, 4, λ)$ ，若 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 三向量共面，则实数 $λ$ 等于（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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16、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $e$ C、 $2 e$ D、 $e^{0}$

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17、已知函数 $f (x) = |x + a| + |x - 1|$ ， $a \in R$ ．
（1）当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解；
（2）对任意 $m \in (0, 3)$ ．关于x的不等式 $f (x) < m + \frac{1}{m} + 2$ 总有解，求实数a的取值范围．

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18、多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式.现有一个标准的铅球场地如图，若场地边界曲线M分别由由两段同心圆弧 $\overset{⌢}{B C}, \overset{⌢}{A D}$ 和两条线段 $A B, C D$ 四部分组成，在极坐标系 $O x$ 中， $∠ A O D = ∠ B O C = \frac{7 π}{36}$ ， A､O､B三点共线. $A (20, \frac{7 π}{72})$ ，点C在半径为1的圆上.

(1)、分别写出组成边界曲线M的两段圆弧和两条线段的极坐标方程；

(2)、若需设置一个距边界曲线M距离不小于1且关于极轴所在直线对称的矩形警示区域，如图，求警示区域所围的最小面积.
注： $\sin \frac{7 π}{72} \approx 0.3$ ， $\cos \frac{7 π}{72} \approx 0.95$

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19、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的长轴为双曲线 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的实轴，且椭圆C过点P（2，1）．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、点A，B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{1}{2}$ ，当坐标原点O到直线AB的距离最大时，求直线AB的方程．

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20、灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.

(1)、求 $X$ 的分布列；

(2)、若满足 $P (X \geq n) \leq 0.6$ 的n的最小值为 $n_{0}$ ，求 $n_{0}$ ；

(3)、在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较 $n = n_{0} - 1$ 与 $n = n_{0}$ 哪种方案更优.

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