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相关试卷

1、下列结论不正确的是（）

A、若幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{1}{3}, 3)$ ，则 $f (x) = x^{- 3}$ B、函数 $f (x) = \log_{a} (x + 2) + 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象必过定点 $(- 1, 2)$ C、函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (2 x - x^{2})$ 的单调递增区间是 $(1, + \infty)$ D、函数 $y = \tan (3 x + \frac{π}{3})$ 的最小正周期是 $\frac{π}{3}$

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2、已知函数 $f (x + 1)$ 的图象关于直线 $x = - 1$ 对称， $\forall x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $(f (x_{1}) - f (x_{2})) (x_{1} - x_{2}) > 0$ 设 $a = f (\log_{2} \frac{1}{3}), b = f (\log_{3} \frac{1}{4}), c = f (\log_{4} \frac{1}{5})$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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3、牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是 $T_{0}$ ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 $T - T_{a} = (T_{0} - T_{a}) {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{h}}$ ，其中h是常数，环境温度是 $T_{a}$ ．若 $T_{a} = 35 ℃$ ，现有一杯 $90 ℃$ 的热水降至 $85 ℃$ 大约用时1分钟，那么水温从 $85 ℃$ 降至 $55 ℃$ ，大约还需要（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30, \lg 11 \approx 1.04$ ）

A、11分钟 B、10分钟 C、9分钟 D、8分钟

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4、若对于任意实数x，不等式 $\cos^{4} x - t \cos^{2} x +3>0$ 恒成立，则实数t的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $(4, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 4)$ D、 $(- 4, + \infty)$

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5、已知 $a, b \in R$ ， “ $a^{2} < b^{2}$ ”是“ $2^{a} < 2^{b}$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、用弧度制表示与 $2025^{°}$ 角的终边相同的角的集合为（）

A、 $\{α | α = \frac{π}{4} + 2 k π, k \in Z\}$ B、 $\{α | α = \frac{3π}{4} + 2 k π, k \in Z\}$ C、 $\{α | α = - \frac{π}{4} + 2 k π, k \in Z\}$ D、 $\{α | α = - \frac{3π}{4} + 2 k π, k \in Z\}$

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7、已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{x}{2^{x} - 2^{- x}}$ B、 $f (x) = \frac{x^{3}}{2^{|x|}}$ C、 $f (x) = \frac{x}{2^{x}}$ D、 $f (x) = x \cdot 2^{|x|}$

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8、命题“ $\forall x \in R, \sin x \leq 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, \sin x > 1$ B、 $\forall x \notin R, \sin x > 1$ C、 $\exists x \in R, \sin x > 1$ D、 $\exists x \notin R, \sin x \leq 1$

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9、已知集合 $A = \{x | - 3 < x \leq 2\}, B = \{y | y = 2 k, k \in Z\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 2\}$ B、 $\{- 2, 0\}$ C、 $\{- 1, 1\}$ D、 $\{- 2, 0, 2\}$

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10、若 $x > 2$ ，则函数 $y = x + \frac{4}{x - 2}$ 的最小值为.

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11、定义 $△ A B C$ 三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则称三元无序数组 $(a, b, c)$ 为三角形数．记 $D$ 为三角形数的全集，即 $(a, b, c) \in D$ ．

(1)、证明：“ $(a, b, c) \in D$ ”是“ $(\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c}) \in D$ ”的充分不必要条件；

(2)、若锐角 $△ A B C$ 内接于圆O，且 $x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C} = \vec{0}$ ，设 $I = (x, y, z) (x, y, z > 0)$ ．
①若 $I = (3, 4, 5)$ ，求 $S_{△ A O B} : S_{△ A O C}$ ；
②证明： $I \in D$ ．

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12、如图，四边形 $A B C D$ 与 $B D E F$ 均为菱形， $A B = 2$ ， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $F A = F C = \sqrt{6}$ ，记平面 $A E F$ 与平面 $A B C D$ 的交线为 $l$ ．

(1)、证明： $B D / / l$ ；

(2)、证明：平面 $B D E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、记平面 $A E F$ 与平面 $A B C D$ 夹角为 $α$ ，若正实数 $m$ ， $n$ 满足 $\{\begin{matrix} m \cos^{2} θ = \sin θ - t \cos θ \\ n \sin^{2} θ = \cos θ + t \sin θ \end{matrix}$ ， $0 < θ < \frac{π}{2}$ ，证明： $m + n > \frac{3 \sqrt{3}}{2} \tan α$ ．

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13、已知向量 $\vec{a} = (\cos \frac{3 x}{2}, \sin \frac{3 x}{2}), \vec{b} = (\cos \frac{x}{2}, - \sin \frac{x}{2})$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - m |\vec{a} + \vec{b}| + 1$ ， $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}], m \in R$ ．

(1)、当 $m = 0$ 时，求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为﹣1，求实数m的值；

(3)、是否存在实数m，使函数 $g (x) = f (x) + \frac{24}{49} m^{2}$ ， $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{4}]$ 有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

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14、在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = b \cos C + \sqrt{3} c \sin B$
（1）求 $B$ ；
（2）若 $Δ A B C$ 为锐角三角形，且边 $c = \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 面积的取值范围.

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15、如图所示，水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图是图中的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，已知 $A^{'} C^{'} = 4 ， B^{'} C^{'} = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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16、如图为某新能源汽车企业2015—2022年及2023年1～9月份的营业额（单位：亿元）、净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业额的增长率的统计图．已知2023年第二、三、四季度的净利润相比上季度均增长 $10 %$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2015 - 2022$ 年营业额逐年增加 B、2022年的净利润超过 $2017 - 2021$ 年净利润的总和 C、 $2015 - 2022$ 年营业额的增长率最大的是2022年 D、2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多30多亿元

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，则（）

A、若 $A = 30^{\circ}, b = 4, a = 3$ ，则 $△ A B C$ 恰有1解 B、若 $\tan A \tan B = 1$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 C、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B + \cos^{2} C < 1$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $a^{2} - b^{2} = b c$ ，则 $A = 2 B$

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18、如图，在直角坐标系内，角 $α$ 的终边与单位圆交于点 $P_{1} (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ， $O P_{1}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{2}$ ， $O P_{2}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{3}$ ， …， $O P_{n - 1}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得 $O P_{n}$ ，则点 $P_{2022}$ 的横坐标为（）

A、 $\frac{3 - 4 \sqrt{3}}{10}$ B、 $\frac{3 + 4 \sqrt{3}}{10}$ C、 $\frac{4 - 3 \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{4 + 3 \sqrt{3}}{10}$

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19、已知一组正数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的方差为 $s^{2} = \frac{1}{5} \sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} - 9$ ，则另一组数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1$ ， $2 x_{3} - 1, 2 x_{4} - 1, 2 x_{5} - 1$ 的平均数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，向量 $\overset{⃑}{α} = (a ， cos B)$ ， $\overset{⃑}{β} ＝ (cos A ， - b)$ ，若 $\overset{⃑}{α} ⊥ \overset{⃑}{β}$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、锐角三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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