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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P, Q$ 在 $C$ 上，若 $\vec{P Q} = 3 \vec{P F_{2}}$ ，且 $∠ P Q F_{1} = ∠ P F_{1} Q$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $B B_{1}$ 的中点，则直线 $F C_{1}$ 与 $A E$ 的距离是（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{2}$

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3、如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列说法一定错误的是（）

A、这组数据可能是对称的 B、数据中可能有异常值 C、数据中可能有极端大的值 D、数据中众数可能和中位数相同

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4、已知圆锥的母线所在直线与底面所成角为 $\frac{π}{3}$ ，若该圆锥的母线长为 $2$ ，则其体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$ B、 $π$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $3 π$

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5、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则甲、乙至少有一人中靶的概率为（）

A、0.02 B、0.26 C、0.72 D、0.98

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6、已知空间向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 2, 3)$ ，则向量 $\overset{⃑}{a}$ 在坐标平面Oxy上的投影向量是（）

A、 $(1,2,0)$ B、 $(1,0,3)$ C、 $(0,2,3)$ D、 $(1,0,0)$

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7、已知复数 $z = \frac{3 - i}{1 - i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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8、已知常数 $m \in R$ ，设 $f (x) = \ln x + \frac{m}{x}$ ，

(1)、若 $m = 1$ ，求函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(2)、是否存在 $0 < x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，且 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 依次成等比数列，使得 $f (x_{1})$ 、 $f (x_{2})$ 、 $f (x_{3})$ 依次成等差数列？请说明理由．

(3)、求证：“ $m \leq 0$ ”是“对任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $\frac{f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2})}{2} > \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ”的充要条件．

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9、设函数 $f (x) = x - a e^{x} (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \leq a x$ 在 $x \in [0, + \infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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10、袋中有大小形状相同的5个球，其中3个红色，2个黄色.

(1)、两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出1个黄球的概率；

(2)、甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量 $X$ 为此时已摸球的次数，求：
① $P (X = 2)$ 的值；②随机变量 $X$ 的概率分布和数学期望.

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11、若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (m, + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}, \frac{x_{1} \ln x_{2} - x_{2} \ln x_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 2$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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12、已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则下列说法正确的是（）

A、函数 $g (x) = f^{'} (x)$ 的极小值为1 B、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增 C、 $\exists x \in (- 2, - 1)$ ，使得 $f^{'} (x_{0}) = - \frac{1}{2} x_{0}$ D、若 $\forall x < 0, f (x) < - \frac{1}{4} x^{2} + a$ 恒成立，则整数 $a$ 的最小值为2

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13、已知函数 $f (x) = (x^{2} + a x) e^{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a = - 2$ 时， $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递减 B、当 $a = - 2$ 时，函数 $f (x)$ 没有最值 C、当 $a = - 2$ 时，过原点且与 $f (x)$ 相切的直线有两条 D、对任意 $a \in R$ ，函数 $f (x)$ 恒有两个极值点

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14、某校为推广篮球运动，成立了篮球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员进行传球训练，从甲开始随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率为 $P_{n}$ ，则 $P_{6}$ ＝（）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{5}{16}$ D、 $\frac{3}{8}$

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15、已知甲、乙两人进行五局球赛，甲每局获胜的概率是 $\frac{3}{5}$ ，且各局的胜负相互独立，已知甲胜一局的奖金为10元，设甲所获得的资金总额为X元，则甲所获得奖金总额的方差 $D (X) =$ （）

A、120 B、240 C、360 D、480

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16、某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（）

A、10 B、20 C、24 D、30

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17、已知 $P (B| A) = \frac{1}{2}$ ， $P (A) = \frac{2}{5}$ ，则 $P (A B)$ 等于（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{9}{10}$ D、 $\frac{5}{4}$

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18、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在 $△ A B C$ 中，试解决以下问题：

(1)、 $G$ 是三角形的重心（三条中线的交点），过点 $G$ 作一条直线分别交 $A B, A C$ 于点 $M, N$ ．
（ⅰ）记 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，请用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A G}$ ；
（ⅱ） $\vec{A M} = m \vec{A B}, \vec{A N} = n \vec{A C}$ ，求 $m + n$ 的最小值．

(2)、已知点 $O$ 是 $△ A B C$ 的垂心（三条高的交点），且 $\vec{A O} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，求 $cos ∠ B A C$ ．

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19、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $\sqrt{3} cos A (c cos B + b cos C) = a sin A$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 7$ ， $△ A B C$ 外接圆的半径为 $R$ ，内切圆半径为 $r$ ，求 $\frac{R}{r}$ 的最小值．

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20、已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设向量 $\overset{⃑}{m} = (b + c, \sin A)$ ， $\overset{⃑}{n} = (a + b, \sin C - \sin B)$ ，且 $\overset{⃑}{m} ∥ \overset{⃑}{n}$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $b = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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