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相关试卷

1、如图，已知向量 $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，可构成空间向量的一个基底，若 $\vec{a} = (a_{1} ， a_{2} ， a_{3}) ，$ $\vec{b} = (b_{1} ， b_{2} ， b_{3}) ， \vec{c} = (c_{1} ， c_{2} ， c_{3})$ ，在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算 $\vec{a} \times \vec{b} = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} ， a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} ， a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$ ，显然 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的结果仍为一向量，记作 $\vec{p}$ ．

（1）求证：向量 $\vec{p}$ 为平面 $O A B$ 的法向量；
（2）求证：以 $O A ， O B$ 为边的平行四边形 $O A D B$ 的面积等于 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ ；
（3）将四边形 $O A D B$ 按向量 $\vec{O C} = \vec{c}$ 平移，得到一个平行六面体 $O A D B - C A_{1} D_{1} B_{1}$ ，试判断平行六面体的体积 $V$ 与 $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$ 的大小．

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2、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形， $D$ 是 $B C$ 的中点， $C_{1} D = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $A_{1} B //$ 平面 $A C_{1} D$ ；

(2)、当三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积最大时，求直线 $A_{1} B_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离．

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3、2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组 $[20, 30)$ ，第2组 $[30, 40)$ ，第3组 $[40, 50)$ ，第4组 $[50, 60),$ 第5组 $[60, 70]$ ，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)、求样本中数据的第 $50$ 百分位数；

(2)、求样本数据的平均数；

(3)、若将频率视为概率，现在要从 $[20, 30)$ 和 $[60, 70]$ 两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在 $[20, 30)$ 组的概率.

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, 0), \vec{b} = (- 1, 0, 2)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + k \vec{b}) // (\vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $k$ ；

(2)、若向量 $- \vec{a} - k \vec{b}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 所成角为钝角，求实数 $k$ 的范围．

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5、如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a＜ $\sqrt{2}$ ）．则下列结论：
①当a＝ $\frac{1}{2}$ 时，ME与CN相交；
②MN始终与平面BCE平行；
③异面直线AC与BF所成的角为45°；
④MN的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
正确的序号是．

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6、已知向量 $\vec{a} = (2, 3, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 0, 3)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上投影向量的坐标为．

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7、样本数据 $5, 9, 6, 7, 11, 8, 10.5$ 的 $40$ ％分位数为．

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8、如图，已知平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $A D = 2 A B$ ， $M$ 为边 $B C$ 的中点，将 $△ A B M$ 沿直线 $A M$ 翻折成 $△ A B_{1} M$ ，若 $N$ 为是 $B_{1} D$ 的中点，则在 $△ A B M$ 的翻折过程中，下列命题正确的是（）

A、线段 $C N$ 的长为定值 B、异面直线 $A M$ 与 $B_{1} D$ 所成角为 $90 °$ C、直线 $C N$ 与平面 $A B_{1} M$ 所成角为定值 D、二面角 $A - B_{1} M - D$ 可以为直二面角

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9、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B$ ， $P$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $Q$ 为 $A_{1} C$ 上的动点，下列结论正确的是（）

A、若 $P Q //$ 平面 $A B C D$ ，则 $A_{1} Q = \frac{1}{4} A_{1} C$ B、若 $P Q //$ 平面 $A B C D$ ，则 $A_{1} Q = \frac{1}{2} A_{1} C$ C、若 $P Q ⊥$ 平面 $P B D$ ，则 $A_{1} Q = \frac{1}{4} A_{1} C$ D、若 $P Q ⊥$ 平面 $P B D$ ，则 $A_{1} Q = \frac{1}{3} A_{1} C$

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10、下列说法正确的是（）

A、若空间中的 $O, A, B, C$ ，满足 $\vec{O C} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B}$ ，则 $A, B, C$ 三点共线 B、空间中三个向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面 C、对空间任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A, B, C$ ，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} + 2022 \vec{O B} - 2023 \vec{O C}$ ，则 $P, A, B, C$ 四点共面 D、设 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 是空间的一组基底，若 $\vec{m} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{n} = \vec{a} - \vec{b}$ ，则 ${\vec{m}, \vec{n}, \vec{c}}$ 不能为空间的一组基底

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11、布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（）

A、 $\vec{C G} = 2 \vec{A B} + 2 \vec{A A_{1}}$ B、直线 $C Q$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{2}{3}$ C、点 $C_{1}$ 到直线 $C Q$ 的距离是 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、异面直线 $C Q$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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12、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $E$ 是 $P D$ 的中点，则 $\vec{E B}$ 可以表示为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{P A} + \frac{1}{2} \vec{P B} - \frac{3}{2} \vec{P C}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{P A} + \frac{1}{2} \vec{P B} + \frac{1}{2} \vec{P C}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{P A} + \frac{3}{2} \vec{P B} - \frac{1}{2} \vec{P C}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{P A} + \frac{1}{2} \vec{P B} - \frac{1}{2} \vec{P C}$

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13、关于空间直角坐标系 $O - x y z$ 中的一点 $P (1 ， 2 ， 3)$ ，下列说法错误的是（）

A、 $O P$ 的中点坐标为 $(\frac{1}{2} ， 1 ， \frac{3}{2})$ B、点 $P$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为 $(- 1 ， 2 ， 3)$ C、点 $P$ 关于原点对称的点的坐标为 $(- 1 ， - 2 ， - 3)$ D、点 $P$ 关于 $x O y$ 面对称的点的坐标为 $(1 ， 2 ， - 3)$

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14、已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ， $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $|\vec{c}| = \sqrt{7}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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15、已知向量 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 下的坐标是 $(2, 3, - 1)$ ，则 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}\}$ 下的坐标为（）

A、 $(- 2, 4, - 1)$ B、 $(2, 5, 2)$ C、 $(2, 5, - 1)$ D、 $(- 2, 4, 1)$

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16、已知函数 $y = φ (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是 $y = φ (a + x) - b$ 是奇函数，给定函数 $f (x) = x - \frac{6}{x + 1}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 图象的对称中心；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性；

(3)、已知函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 对称，且当 $x \in [0, 1]$ 时， $g (x) = x^{2} - m x + m$ ．若对任意 $x_{1} \in [0, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, 5]$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求实数m的取值范围．

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17、若正数 $x$ ， $y$ 满足 $4 x + y = 4$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{9}{4}$ C、3 D、 $\frac{8}{3}$

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18、已知直线 $l$ 经过点 $(4, 2)$ ，且在 $x$ 轴上的截距是在 $y$ 轴上截距的两倍，则直线 $l$ 的方程为．

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19、已知直线 $l_{1} : m x + y + 3 = 0$ 和直线 $l_{2} : 3 m x + (m - 2) y + m = 0$ ，则“ $m = 0$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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20、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 14 y + 45 = 0$ 及点 $Q (- 2, 3)$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆心 $C$ 的坐标为 $(2, 7)$ B、若点 $P (m, m + 1)$ 在圆 $C$ 上，则直线 $P Q$ 的斜率为 $\frac{1}{4}$ C、点 $Q$ 在圆 $C$ 外 D、若 $M$ 是圆 $C$ 上任一点，则 $|M Q|$ 的取值范围为 $[2 \sqrt{2}, 6 \sqrt{2}]$ ．

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