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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (\cos x, \cos x), \vec{b} = (\sqrt{3} \sin x, - \cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及函数 $f (x)$ 图象的对称轴；

(2)、当 $f (α) = - \frac{3}{10}$ ，且 $- \frac{π}{6} < α < \frac{π}{3}$ 时，求 $\sin (2 α + \frac{π}{6})$ 的值.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x + (a - 1) \ln x$ ， $f^{'} (2) = 2.$

(1)、求a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极小值.

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3、已知函数 $f (x) = \sin x (1 - 2 \cos^{2} \frac{x}{2})$ ，则曲线 $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{3}$ 处的切线斜率为.

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4、如图，在正三棱锥 $P - A B C$ 中，点G为 $△ A B C$ 的重心，点M是线段 $P G$ 上的一点，且 $P M = 3 M G$ ，记 $\vec{P A} = \vec{a}, \vec{P B} = \vec{b}, \vec{P C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ B、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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5、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, - 3)$ .

(1)、求 $| \vec{b} |$ ；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，求 $\vec{a}$ 的坐标；

(3)、若 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = 2 \sqrt{7}$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角.

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6、某摩天轮最高点距离地面高度 $128$ 米，转盘直径为 $120$ 米，设置有 $48$ 个座舱，每相邻两个乘座舱与旋转中心所成的圆心角均相等，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要 $30$ 分钟，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，在 $t min$ 后距离地面的高度 $h (t) = A sin (ω t + φ) + B (A > 0, ω > 0, |φ| \leq \frac{π}{2})$ ，则 $h (t)$ 的函数解析式为；在摩天轮转动的一周内，有 $min$ 距离地面超过 $38$ 米.

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7、如图，已知菱形 $A B C D$ ，用斜二测画法作出菱形 $A B C D$ 的直观图即四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，则四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面积为.

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8、若正方体的顶点都在同一球面上，该球的表面积为 $36 π$ ，则该正方体的体积为．

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9、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $(\sqrt{3} c - 2 a sin B) sin C = \sqrt{3} (b sin B - a sin A)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\cos A \cos C$ 的取值范围是 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{4}]$ B、若D是AC边上的一点，且 $\vec{C D} = 2 \vec{D A}$ ， $B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、若三角形是锐角三角形，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, 2)$ D、若三角形是锐角三角形，BD平分 $∠ A B C$ 交AC于点D，且 $B D = 1$ ，则 $4 a + c$ 的最小值为 $3 \sqrt{3}$

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10、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}, C_{1} C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A M$ 与 $B N$ 是平行直线 B、直线 $B N$ 与 $M B_{1}$ 是异面直线 C、直线 $M N$ 与 $A C$ 所成的角为 $60^{\circ}$ D、四边形 $M N B A_{1}$ 的面积为 $\frac{9}{2}$

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11、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 i$ ，则下列关于复数 $z$ 的结论正确的是（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 对应的点落在第四象限 C、复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} = - 1 - i$ D、复数 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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12、已知 $△ A B C$ 中， $A B = 3, A C = 5, B C = 7, O$ 为 $△ A B C$ 外接圆的圆心， $I$ 为 $△ A B C$ 内切圆的圆心，则 $(\vec{A O} + \vec{A I}) \cdot \vec{B C} =$ （）

A、8 B、9 C、10 D、11

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13、如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱 $A A^{'} = 16$ ，底面边长 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，若侧面 $A A^{'} B B^{'}$ 水平放置时，水面恰好经过 $A C, B C, A^{'} C^{'}, B^{'} C^{'}$ 的中点 $D, E, D^{'}, E^{'}$ ，现将底面 $A B C$ 水平放置，若打开上底面 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的盖子，从上底面 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 放入半径为2的小铁球，当水从上底面 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 溢出时，则需放入的小铁球个数的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、向量 $\vec{a} = (2, 2 \sqrt{3})$ 在向量 $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ 上的投影向量是（）

A、 $(- 3, \sqrt{3})$ B、 $(3, \sqrt{3})$ C、 $(3, - \sqrt{3})$ D、 $(- 3, - \sqrt{3})$

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15、如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行于平面MNQ的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为80%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为90%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为88%．

(1)、设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件．求证： $4 m = n$ ；

(2)、从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；

(3)、为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．设事件 $A =$ “甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件 $B =$ “该大型企业把零件交给甲工厂生产”，已知 $0 < P (B) < 1$ ，证明： $P (A |B) > P (A |\bar{B})$ ．

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17、盒中装有标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性都相等，求：

(1)、抽出的3张中有2张卡片上的数字是3，有多少种不同的选法？

(2)、若抽出的3张卡片上最大的数字是4，有多少种不同的选法？

(3)、抽出的3张卡片上的数字互不相同，有多少种不同的选法？

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18、某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为．

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19、用0、1、2、3、4、5这六个数字组成一个无重复数字的五位偶数，这样的数有个.

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20、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 既存在极大值又存在极小值 B、函数 $f (x)$ 存在 $2$ 个不同的零点 C、函数 $f (x)$ 的最小值是 $- 2 e$ D、若 $x \in [t, + \infty)$ 时， $f {(x)}_{\max} = \frac{5}{e^{2}}$ ，则 $t$ 的最大值为 $2$

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