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相关试卷

1、已知 $a, b > 0$ 且 $a + b = 1$ ，则下列不等式恒成立的有（）

A、 $a b \leq \frac{1}{4}$ B、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} \geq 2 + \sqrt{2}$

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2、下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0), \vec{e_{2}} = (1, 1)$ B、 $\vec{e_{1}} = (0, 3), \vec{e_{2}} = (3, 0)$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5), \vec{e_{2}} = (- 6, - 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (1, 3), \vec{e_{2}} = (- 2, 6)$

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3、函数 $y = {log}_{\frac{1}{2}} (2 - x - x^{2})$ 的增区间为（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ B、 $(- 2, - \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \frac{1}{2}, 1)$

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4、函数 $f (x) = 3^{x} + 2 x - 4$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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5、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，则“ $\vec{a} = \vec{b}$ ”是“ ${\vec{a}}^{2} = {\vec{b}}^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、要得到 $y = \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ 的图象，只要将函数 $y = \sin \frac{x}{2}$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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7、复数 $z = \frac{1}{2 - i}$ 的虚部是（）

A、 $\frac{1}{5} i$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- i$ D、 $- 1$

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8、设 $k \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} k x^{2} - x + 1, x < 0 \\ e^{x} - k x, x \geq 0 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 恰有两个零点，则 $k$ 的取值范围是

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9、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = \sqrt{3}$ ．

(1)、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = 3$ ．求 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ 的值．

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10、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2$ B、 $x y \leq {(\frac{x + y}{2})}^{2}$ C、 $x y > x + y$ D、 $(x + y) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \geq 4$

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11、DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．

(1)、此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自 $A$ 部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记 $X$ 表示选取的2人中来自 $A$ 部门的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ ，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；
（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司 $A, B$ 两部门培训后的年利润（公司年利润 $=$ 员工创造的利润-其他成本和费用）．

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12、已知函数 $f (x) = x^{2} + \ln (e^{x} + e^{- x}) - 2$ ，则不等式 $f (x + 2) \leq f (2 x - 3)$ 的解集为（）

A、 $[- 5, - \frac{1}{3}]$ B、 $(- \infty, - 5] \cup [- \frac{1}{3}, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{3}, 5]$ D、 $(- \infty, \frac{1}{3}] \cup [5, + \infty)$

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13、双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 4 x$ B、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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14、已知函数 $f_{n} (x) = {s i n}^{n} x + {c o s}^{n} x (n \in N_{+}) .$

(1)、若 $f_{4} (x_{0}) = \frac{2}{3} ，$ 求 $f_{6} (x_{0})$ 的值；

(2)、试求 $f_{2} (x), f_{4} (x), f_{6} (x)$ 的取值范围，猜想当 $n = 2 k, k \in N_{+}$ 时 $， f_{n} (x)$ 的取值范围 $($ 不需写出证明过程 $)$ ；

(3)、存在 $n \in N_{+} ，$ 使得关于x的不等式 $f_{n} (x) + a {(s i n x + c o s x)}^{2} - 2 a \geq 0$ 对任意的 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 恒成立，求a的取值范围.

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15、设 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为 $a ，$ b，c，且满足 $2 a \cos B + b = 2 c$ ， $a = 5$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求周长的取值范围；

(3)、若 $△ A B C$ 的内切圆半径 $r = \frac{5 \sqrt{3}}{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积S.

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16、如图是一个以 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC.已知 $A A_{1} = 4, B B_{1} = 2, C C_{1} = 3, A_{1} B_{1} = 2$ .

(1)、求几何体 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 的体积；

(2)、线段 $C C_{1}$ 上有一动点 $P$ ，求使 $B_{1} P + P A$ 最小时 $C P$ 的长.

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17、已知向量 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (3, x)$ ， $\vec{c} = (4, y)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ．

(1)、求 $x$ 与 $y$ 的值；

(2)、若 $\vec{m} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{n} = \vec{a} + \vec{c}$ ，求向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的夹角的大小.

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18、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3, B C = 2$ ， $P, Q$ 分别为边 $A D, A B$ 上的点，若 $∠ P C Q = \frac{π}{4}$ ，则 $△ A P Q$ 的面积的最大值为.

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19、已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{6}) - a$ 在 $x \in [\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 上有两个零点，则 $a$ 的取值范围为.

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20、有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）， $∠ A B C = 45 °$ ， $A B = A D = 2$ ， $D C ⊥ B C$ ，则原多边形面积为．

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