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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x + \frac{1}{4} (a \in R) .$

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集是实数集 $R$ ，求a的取值范围；

(2)、当 $a \in R$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) - \frac{9}{4} \leq 0.$

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2、已知全集为R ，集合 $A = \{x | 1 \leq x < 3\}$ ， $B = \{x | (2 x - 3) (x - 4) \leq 0\}$ ．

(1)、求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $C = \{x | m + 1 < x < 2 - m\}$ ，且 $A \cap C = C$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + \frac{5}{2}, & x \leq 2, \\ \frac{2}{x}, & x > 2, \end{array}$ 则 $f (f (4)) =$

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4、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 1$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $x y$ 有最大值为 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 有最小值为9 C、 $x^{2} + 2 y^{2}$ 有最小值为 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{y}{x} + \frac{1}{y}$ 有最小值为3

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5、下列说法正确的是（）

A、若 $\frac{a}{c^{2}} < \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a < b$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a + c > b + d$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $a > b > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$

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6、数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12， $a = 4$ ，则此三角形面积的最大值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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7、不等式 $x (x - 2) < 0$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $x \in (0, 2]$ B、 $x \in (0, 2)$ C、 $x \in (0, 1)$ D、 $x \in (- \infty, 0]$

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8、如图， $U$ 是全集， $M$ ， $N$ ， $P$ 是 $U$ 的子集，则阴影部分表示的集合是（）

A、 $M \cap (N \cap P)$ B、 $M \cup (N \cap P)$ C、 $(∁_{U} M) \cap (N \cap P)$ D、 $(∁_{U} M) \cup (N \cap P)$

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9、已知点 $A (2, - 3), B (- 5, - 2)$ ，若直线 $l : m x + y + m - 1 = 0$ 与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（）

A、 $[- \frac{4}{3}, \frac{3}{4}]$ B、 $(- \infty, - \frac{4}{3}] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$ C、 $[- \frac{3}{4}, \frac{4}{3}]$ D、 $(- \infty, - \frac{3}{4}] \cup [\frac{4}{3}, + \infty)$

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10、设任意一个无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，若 $\forall n \in N^{*}$ ， $T_{n} \in \{a_{n}\}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 是 $T$ 数列．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $- 2$ ，公差为 $1$ 的等差数列，请判断 $\{a_{n}\}$ 是否为 $T$ 数列？并说明理由；

(2)、证明：若 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n \cdot 2^{n}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 不是 $T$ 数列；

(3)、设 $\{a_{n}\}$ 是无穷等比数列，其首项 $a_{1} = 5$ ，公比为 $q (q > 0)$ ，若 $\{a_{n}\}$ 是 $T$ 数列，求 $q$ 的值．

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11、已知函数 $f (x) = x^{3} + \frac{2^{x + 1}}{2^{x} + 1}$ ，若实数 $a, b$ 满足 $f (a^{2}) + f (2 b^{2} - 3) = 2$ ，则 $a \sqrt{1 + b^{2}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{4}$

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12、若 $a b > a^{2}$ ，且 $a, b \in (0, 1)$ ，则下列不等式一定正确的是（）

A、 $\frac{1}{b} < \frac{1}{b - a}$ B、 $a b > b^{2}$ C、 $1 + a b < a + b$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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13、如图， $P$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $A C$ 为底面直径， $△ A B D$ 为底面圆 $O$ 的内接正三角形，点 $E$ 在母线 $P C$ 上，且 $A B = A E = 3$ ， $C E = \sqrt{3}$ .

(1)、求证：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、求直线 $P O$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值；

(3)、在线段 $O P$ 上是否存在一点 $M$ ，使得平面 $M A B$ 与平面 $A D E$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ ？若存在，确定点 $M$ 的位置，若不存在，请说明理由

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14、如图， $M$ 为四面体 $O A B C$ 的棱 $B C$ 的中点， $N$ 为 $O M$ 的中点，点 $P$ 在线段 $A N$ 上，且 $A P = 2 P N$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{O P} =$ （）

A、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ B、 $\vec{O P} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{12} \vec{b} + \frac{1}{12} \vec{c}$ C、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ D、 $\vec{O P} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{12} \vec{b} - \frac{1}{6} \vec{c}$

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15、已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“ $α / / β$ ”是“ $m / / β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 2, A A_{1} ⊥ A B, A C ⊥ A B, D$ 为 $A_{1} B_{1}$ 中点，E为 $A A_{1}$ 中点，F为 $C D$ 中点．

(1)、求证： $E F //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $C C_{1} D$ 的正弦值；

(3)、求平面 $A_{1} C D$ 与平面 $C C_{1} D$ 夹角的余弦值．

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17、若向量 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (m + 1, 2)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 8$ B、8 C、 $- 2$ D、2

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18、已知：①定积分的定义：
设 $y = f (x)$ 为定义在 $[a, b]$ 上的连续非负函数，为求 $y = f (x) ､ x = a ､ x = b ､ x$ 轴围成的曲边梯形的面积，可采取如下方法：
将区间 $[a, b]$ 分为 $n$ 个小区间，每个小区间长度为 $\frac{b - a}{n}$ ，每个区间即可表示为 $[a + \frac{b - a}{n} (i - 1), a + \frac{b - a}{n} i] (i = 1, 2, 3, \dots n)$ ，再分别过每个区间的左右端点作 $x$ 轴的垂线与 $y = f (x)$ 图象相交，即可得到一个小的曲边梯形.如图，
当 $n \to + \infty$ 时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间内的任一点的函数值近似代替（一般用区间端点的函数值），将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得之和即为所求的由 $y = f (x) ､ x = a ､ x = b ､ x$ 轴围成的曲边梯形的面积，即 $S = \lim_{n \to \infty} [\sum_{i = 1}^{n} f (a + \frac{b - a}{n} i) \cdot \frac{b - a}{n}]$ ，上式也记为 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ，即对 $y = f (x)$ 在 $[a, b]$ 上求定积分.
②定积分的计算： $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ 其中 $F^{'} (x) = f (x)$ .
根据以上信息，回答以下问题：

(1)、已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ，求证： $\int_{0}^{α} \cos x d x < α$ .

(2)、将 $x = 1 、 x = 2 、 y = \frac{1}{x} 、 x$ 轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式，并求其值；

(3)、试证明： $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{200} < ln 2 < \frac{1}{100} + \frac{1}{101} + \dots + \frac{1}{199}$ .

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，点 $(a_{n}, a_{n + 1})$ 在直线 $y = 3 x + 1$ 上.

(1)、设 $b_{n} = a_{n} + \frac{1}{2}$ ，证明 $\{b_{n}\}$ 为等比数列：

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、设 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{3}{2}$ .

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B_{1} C$ 为正三角形，四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 为菱形.

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、若 $A C = B C = 4$ ，且 $A C ⊥ B C, E$ 为 $C C_{1}$ 的中点，求平面 $A B_{1} E$ 与平面 $A B C$ 的夹角的余弦值.

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