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相关试卷

1、盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件 $A =$ “两个球颜色相同”， $B =$ “第1次取出的是红球”， $C =$ “第2次取出的是红球”， $D =$ “两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（）

A、A与 $B$ 相互独立 B、A与 $D$ 互为对立 C、 $B$ 与 $C$ 互斥 D、 $B$ 与 $D$ 相互独立

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2、已知四面体ABCD的各顶点均在球 $O$ 的球面上，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D, A B = B C =$ $A C = C D = 2,$ $B C ⊥ C D$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $8 π$ C、 $\frac{28 π}{3}$ D、 $12 π$

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3、已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $2 \sqrt{3} x + 2 y - x y = 0$ ，则当 $x y$ 取得最小值时， $x + 2 y =$ （）

A、 $4 + 8 \sqrt{3}$ B、 $2 + 4 \sqrt{3}$ C、 $3 + 6 \sqrt{3}$ D、 $8 + 6 \sqrt{3}$

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4、设点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，若直线 $2 x + y - b = 0$ 与线段 $A B$ 相交，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[0, 2]$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $(- 2, 2]$

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5、函数 $f (x) = x^{2} + (a - 1) x + 1$ 有两个零点的充分不必要条件是（）

A、 $a > 3$ B、 $- 1 < a < 3$ C、 $a < - 1$ 或 $a > 3$ D、 $a < 0$

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6、已知 $tan α = \sqrt{2}$ ， $α$ 为第三象限角，则 $\sqrt{2} sin α + cos α =$ （）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- 2 \sqrt{3}$

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7、某同学掷骰子5次，记录了每次骰子出现的点数，则从以下情况中可以判断出这组数据一定没有出现点数6的是（）

A、平均数为3，中位数为2 B、中位数为3，众数为2 C、中位数为3，方差为2.8 D、平均数为2，方差为2.4

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8、已知复数 $z = \frac{10 i}{1 - 3 i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $3$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $4$ D、 $5$

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9、在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别为棱 $A D, B B_{1}$ 的中点. 点 $P$ 为正方体表面上的动点，满足 $A_{1} P ⊥ E F$ . 给出下列四个结论：
①线段 $A_{1} P$ 长度的最大值为 $2 \sqrt{3}$ ；
②存在点 $P$ ，使得 $D P // E F$ ；
③存在点 $P$ ，使得 $B_{1} P = D P$ ；
④ $△ E P F$ 是等腰三角形.

其中，所有正确结论的序号是．

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10、如图所示，已知点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，过点 $G$ 作直线分别交 $A B, A C$ 两边于 $M, N$ 两点，且 $\vec{A M} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = y \vec{A C}$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2} + 3}{3}$ B、 $2 \sqrt{2} + 3$ C、4 D、2

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11、 $\forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 的较小者，记为 $M (x) = min \{f (x), g (x)\}$ ，若 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $M (2) = - 3$ B、函数 $M (x)$ 有最大值，无最小值 C、不等式 $M (x) \leq - 4$ 的解集是 $(- \infty, - 5]$ D、若 $a, b, c$ 是方程 $M (x) + 1 = 0$ 的三个不同的实数解，则 $a + b + c = 0$

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12、如图，在正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中， $M$ 为 $F F_{1}$ 的中点．设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A F} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{D M}$ ， $\vec{B E_{1}}$ ；

(2)、若 $|\vec{a}| = |\vec{c}| = 2$ 求 $\vec{D M} \cdot \vec{B E_{1}}$ 的值．

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13、已知 $A (- 2, 2), B (4, 5)$ ，若直线 $l : m x + 2 y - 3 m + 6 = 0$ 与线段 $A B$ 相交，则m的值可能为（）

A、 $- 2$ B、4 C、10 D、 $- 10$

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14、在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $P A = A B = B C = 2$ ． M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为．

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15、已知 $m, n$ 是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若 $m ⊥ α, m ⊥ β,$ 则 $α / / β$ ；
②若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ,$ 则 $α / / β$ ；
③若 $m \subset α, n \subset β, m / / n,$ 则 $α / / β$ ；
④若 $m, n$ 是异面直线， $m \subset α, m / / β, n \subset β, n / / α,$ 则 $α / / β$ ．其中真命题是（）

A、①和② B、①和③ C、③和④ D、①和④

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16、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D，E分别是线段 $B_{1} C_{1}$ ， $A_{1} D$ 的中点，设 ${\vec{A A}}_{1} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A C} = \vec{c}$ .用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{A E} =$ .

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17、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} - 4 x + y^{2} - 6 y + 12 = 0$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ ， $M$ ， $N$ 分别是圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点， $P$ 为 $x$ 轴上的动点，则点 $P$ 到 $M$ ， $N$ 两点的距离之和的最小值为．

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18、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，则“ $f (2) < f (3)$ ”是“ $f (x)$ 是增函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ $C_{1}$ 对应图1， $C_{2}$ 对应图2）.

(1)、判断椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由；

(2)、证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；

(3)、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > b > 0 ），$ 椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{y^{2}}{b'^{2}} = 1 （ a^{'} > b^{'} > 0 ）$ 的离心率为 $e^{'}$ ， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 是“相似椭圆”，且 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的相似比为 $k : 1$ ，若 $△ A F_{2} B$ 的面积为 $S$ ，求 $△ A^{'} F_{1}^{'} F_{2}^{'}$ 的面积（用 $e^{'}$ ， $k$ ， $S$ 表示）.

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20、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $E$ 在 $B D$ 上，点 $F$ 在 $B_{1} C$ 上，且 $B E = C F$ ，点 $P$ 在线段 $C M$ 上运动，下列说法正确的有（）

A、当点 $E$ 是 $B D$ 中点时，直线 $E F / /$ 平面 $D C C_{1} D_{1}$ ； B、直线 $B_{1} D_{1}$ 到平面 $C M N$ 的距离是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ； C、存在点 $P$ ，使得 $∠ B_{1} P D_{1} = 90 °$ ； D、 $△ P D D_{1}$ 面积的最小值是 $\frac{5 \sqrt{5}}{6}$

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