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相关试卷

1、直线 $l$ 的一个方向向量为 $(\sqrt{3}, 1)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为．

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2、给定正整数 $N \geq 3$ ，已知项数为 $m$ 且无重复项的数对序列 $A : (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{m}, y_{m})$ 满足如下三个性质：
① $x_{i}, y_{i} \in \{1, 2, \dots, N\}$ ，且 $x_{i} \neq y_{i} (i = 1, 2, \dots, m)$ ；
② $x_{i + 1} = y_{i} (i = 1, 2, \dots, m - 1)$ ；
③ $(p, q)$ 与 $(q, p)$ 不同时在数对序列A中．

(1)、当 $N = 3, m = 3$ 时，写出所有满足 $x_{1} = 1$ 的数对序列A；

(2)、当 $N = 6$ 时，证明： $m \leq 13$ ；

(3)、当 $N$ 为奇数时，记 $m$ 的最大值为 $T (N)$ ，求 $T (N)$ ．

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3、瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作 $△ A B C$ ， $|A B| = |A C|$ ，点 $B (- 1, 1)$ ，点 $C (7, 5)$ ，过其“欧拉线”上一点 $P$ 作圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 9$ 的两条切线，切点分别为 $M$ 、 $N$ ，则 $|M N|$ 的最小值为．

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4、焦点在y轴上，短轴长为8，离心率为 $\frac{3}{5}$ 的椭圆的标准方程是．

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5、已知点S，A，B，C均在半径为4的球O的表面上，且 $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $S A = 4$ ， $∠ B A C = \frac{2π}{3}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，点M在 $B C$ 上，当直线 $S M$ 与平面 $A B C$ 所成的角最大时， $A M =$ ．

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6、抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点，焦点 $F$ 在 $x$ 轴正半轴上. $P$ 为 $C$ 上一点，且 $P F$ 比 $P$ 到 $y$ 轴的距离多 $1$ ，则抛物线 $C$ 的标准方程为.

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7、在平面直角坐标系中，已知两定点 $A (- 4, 0)$ ， $B (4, 0)$ ， M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且 $2 {|M N|}^{2} = |A N| \cdot |N B|$ ．

(1)、求动点M的轨迹 $Γ$ ；

(2)、设过 $P (0, 1)$ 的直线交曲线 $Γ$ 于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{0}$ ，且满足 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = \frac{2}{k_{0}}$ ．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $b_{n}$ ，且 $\frac{2}{b_{n}} + \frac{1}{a_{n}} = 1$ ．

(1)、证明： $\{b_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、从 $\{b_{n}\}$ 中依次取出第1项，第2项，第4项……第 $2^{n - 1}$ 项，按原来顺序组成一个新数列 $\{c_{n}\}$ ，求数列 $\{n (c_{n} - 1)\}$ 的前 $n$ 项和．

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9、已知函数 $f (x) = x {(x - 3)}^{2}$ ， $x \in [1, a]$ ．

(1)、若 $f (x)$ 不单调，求实数a的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $f (a)$ ，求实数a的取值范围．

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10、某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了80名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：
分组
频数
频率
[60，70）
16
0.2
[70，80）
50
n
[80，90）
10
p
[90，100]
4
0.05
合计
80
1

(1)、求表中n，p的值和频率分布直方图中a的值；

(2)、如果用分层抽样的方法，从样本成绩在 $[60, 70)$ 和 $[90, 100]$ 的学生中共抽取5人，再从这5人中选2人，求这2人的成绩在 $[60, 70)$ 的概率.

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11、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数， $f (1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时，有 $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集是．

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a \sin 2 B - \frac{c}{2} \sin 2 A = a \sin A \cos C$ ．则角 $B =$ .

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13、定义集合运算 $A ⊙ B = \{z | z = x y (x + y), x \in A, y \in B\}$ ，集合 $A = \{0, 1\}, B = \{2, 3\}$ ，则集合 $A ⊙ B$ 所有元素之和为

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14、曲线的法线定义：过曲线上的点，且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法线.已知点 $P (4, 4)$ 是抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上的点， $F$ 是 $C$ 的焦点，点 $P$ 处的切线 $l_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $T$ ，点 $P$ 处的法线 $l_{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $G$ ，与 $C$ 交于另一点 $B$ ，点 $M$ 是 $P G$ 的中点，则以下结论正确的是（）

A、点 $T$ 的坐标是 $(0, - 2)$ B、 $l_{2}$ 的方程是 $x + 2 y - 12 = 0$ C、 ${|T G|}^{2} = |P A| \cdot |P B|$ D、点 $M$ 的坐标是 $(2, 5)$

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15、已知 $S_{n}, T_{n}$ 分别是数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2, S_{n - 1} = a_{n} (n \geq 2)$ ， $b_{n} = \frac{1}{\log_{2} a_{n + 1} \cdot \log_{2} a_{n + 2}}$ ，则（）

A、 $S_{2} = 4$ B、 $a_{n} = 2^{n - 1}$ C、 $T_{10} = \frac{10}{11}$ D、 $b_{n} < \frac{2}{2 n + 1}$

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16、从集合 ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 中任取两个互不相等的数 $a, b$ 组成复数 $a + b i$ ，下列说法错误的有（）

A、其中虚数有30个 B、其中虚数有42个 C、其中虚数有36个 D、其中虚数有35个

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17、2022年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”.其中2008年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰立方”.“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和轮椅冰壶等比赛项目.“水立方”的设计灵感来自威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有24个顶点，且棱长为2，则该多面体的表面积是（）

A、 $24 (\sqrt{3} + 1)$ B、 $24 \sqrt{3} + 6$ C、 $48 \sqrt{3} + 24$ D、 $16 \sqrt{3} + 8$

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18、由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数的个数为（）．

A、60 B、96 C、300 D、360

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19、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3 |\vec{b}|$ ，向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $\sqrt{2} \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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20、抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，且抛物线C与椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 在第一象限的交点为A，若 $A F ⊥ x$ 轴，则 $p =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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分组	频数	频率
[60，70）	16	0.2
[70，80）	50	n
[80，90）	10	p
[90，100]	4	0.05
合计	80	1