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相关试卷

1、已知 $α$ ， $β$ 是两个互相平行的平面， $l$ ， $m$ ， $n$ 是不重合的三条直线，且 $l ⊥ α$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则（）

A、 $l ⊥ n$ B、 $m ⊥ n$ C、 $l / / n$ D、 $m // n$

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2、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则可以与向量 $\vec{m} = \vec{a} - 2 \vec{c}$ ， $\vec{n} = \vec{a} + 2 \vec{c}$ 构成空间另一个基底的向量是（）

A、 $\vec{a}$ B、 $\vec{b}$ C、 $\vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{c}$

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3、已知直线 $x + y + m - 1 = 0$ 与直线 $3 x + (m + 2) y + 3 = 0$ 平行，则 $m =$ （）

A、1 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 1$

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4、如图所示，直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, A D ⊥ A B, A B = B C = 2 A D = 2$ ，四边形 $E D C F$ 为矩形， $C F = \sqrt{3}$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $D F / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求平面 $A B E$ 与平面 $E F B$ 夹角的余弦值；

(3)、在线段 $D F$ 上是否存在点 $P$ ，使得直线 $B P$ 与平面 $A B E$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ ，若存在，求出线段 $B P$ 的长度，若不存在，请说明理由．

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5、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ ，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $O$ 为坐标原点， $P$ 为椭圆 $C$ 上一点，直线 $O P$ 与圆 $O$ 交于点 $M$ ， $N$ ，若 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 4$ ，则 $|P M| \cdot |P N| =$ .

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6、已知 $1$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 这 $5$ 个数的平均数为 $3$ ，方差为 $2$ ，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 这 $4$ 个数的方差为．

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7、两平行直线 $l_{1} : a x + 3 y + 1 = 0$ ， $l_{2} : x + (a - 2) y + a = 0$ 的距离为.

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8、如图，已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $∠ B A A_{1} = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ C A A_{1} = \frac{π}{3}$ ， $A B = A C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点O是 $B_{1} C$ 与 $B C_{1}$ 的交点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A A_{1}})$ B、 $|\vec{A O}| = \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $A O ⊥ B C$ D、平面 $A B C ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$

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9、（多选）已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为 $4$ ，直线 $l$ 过点 $F$ 且与抛物线交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，若 $M (m, 2)$ 是线段 $A B$ 的中点，则（）

A、 $p = 4$ B、抛物线的方程为 $y^{2} = 16 x$ C、直线 $l$ 的方程为 $y = 2 x - 4$ D、 $|A B| = 10$

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10、一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有 $1 \sim 9$ 这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件 $A$ ， “从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件 $B$ ， “从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件 $C$ ．则下列说法正确的是（）

A、事件 $A$ 与事件 $C$ 是互斥事件 B、事件 $B$ 与事件 $C$ 是对立事件 C、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 D、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

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11、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $B$ 是 $C$ 的下顶点，直线 $B F_{2}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $A$ ，且满足 $\vec{F_{1} A} ⊥ \vec{F_{1} B}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12、已知 $M (- 2, 0)$ ，圆 $C :$ $x^{2} - 4 x + y^{2} = 0$ ，动圆 $P$ 经过 $M$ 点且与圆 $C$ 相切，则动圆圆心 $P$ 的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (x \geq 1)$ B、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1 (x \geq \sqrt{3})$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$

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13、安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为 $1, 2, 3$ 的三个教室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志愿者，则甲恰好不安排到 $3$ 号教室的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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14、若直线l过点 $(- 3, - 2)$ ，且与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（）

A、 $2 x + y - 8 = 0$ B、 $2 x + y + 8 = 0$ C、 $2 x - y + 8 = 0$ D、 $2 x - y - 6 = 0$

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15、我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为 $3 : 4 : 3$ ，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（）

A、52 B、48 C、36 D、24

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16、已知点 $A (2, 1, - 1)$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $B$ ，则 $|\vec{A B}|$ 等于（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、2 D、 $2 \sqrt{5}$

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17、抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, \frac{1}{16})$ D、 $(\frac{1}{16}, 0)$

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18、已知 $A = \{1, 2, 3, \dots, k\} (k \geq 2, k \in N^{*})$ ，设 $y = f (x)$ 是 $A$ 到 $N^{*}$ 的一个函数，对任意的 $x \in A$ ，若 $\frac{f (2)}{f (1)}, \frac{f (3)}{f (2)}, \dots, \frac{f (k)}{f (k - 1)}$ 全不相等，则称 $y = f (x)$ 为 $L -$ 函数．

(1)、试判断 $f (x) = 2^{x} (x \in A)$ 与 $g (x) = x^{2} (x \in A)$ 是否为 $L -$ 函数（不必写出理由）；

(2)、已知 $y = h (x) (x \in A)$ 为 $L -$ 函数，记 $B = \{y |y = h (x), x \in A\}$ 的元素个数为 $card (B)$ ．
（ⅰ）若 $k = 7$ ，求 $card (B)$ 的最小值；
（ⅱ）若 $k = 22, card (B) = 5$ ，求 $h (1) + h (2) + \dots + h (22)$ 的最小值．

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19、已知函数 $f (x) = ln (2 - x) + ln (2 + x)$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性并证明；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 2)$ 上的单调性并用定义法证明；

(3)、若 $\forall x \in (- 2, 2)$ 都有 $f (k x - 1) > 0$ 成立，求正实数 $k$ 的取值范围．

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20、17世纪，牛顿发现物体表面的热流密度与物体表面温度和周围环境温度之差成正比，其原理是当一个物体表面的温度高于周围环境的温度时，物体将会通过热传导、对流和辐射等方式向周围环境释放热量．如：一杯热茶水会在常温下逐渐冷却，设茶水的冷却时间为 $x$ （单位： $min$ ），茶水冷却 $x min$ 后水温为 $y$ （单位： $℃$ ），根据该机理，我们得到函数模型： $y = (y_{0} - y_{S}) e^{- k x} + y_{S}$ ，其中 $y_{0}$ 为茶水的初始温度， $y_{S}$ 为室温， $k$ 为冷却系数．李大爷在室温 $20 ℃$ 的条件下泡了一杯 $95 ℃$ 的茶水， $2 min$ 后，测得水温为 $80 ℃$ ．

(1)、求冷却系数 $k$ ；

(2)、经研究表明，饮水温度不宜高于 $40 ℃$ ，以保证口腔与食管不受到损害，根据该模型判断 $8 min$ 后该杯茶水是否宜于饮用，并说明理由．

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