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相关试卷

1、上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设：
假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；
假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；
假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．
截面图如下（图3），其中 $O_{1} O_{3} = 20 cm$ ， $O_{2} O_{3} = 18 cm$ ， $A B = 16 cm$ ，则制作 $100$ 个这样的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜．（铜的密度为 $8.9 g / {cm}^{3}$ ）（结果精确到个位）

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2、申辉中学高一（8）班设计了一个“水滴状”班徽的平面图（如图），徽章由等腰三角形 $A B C$ 及以弦 $B C$ 和劣弧 $B C$ 所围成的弓形所组成，其中 $A B = A C$ ，劣弧 $B C$ 所在的圆为三角形的外接圆，圆心为 $O$ ．
已知 $∠ B A C = θ, θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，外接圆的半径是2，则该图形的面积为．（用含 $θ$ 的表达式表示）

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3、甲乙两人下棋，每局两人获胜的可能性一样，某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜者赢得100元奖金，第一局比赛甲获胜，后因为有其他事情而中止比赛，则甲应该分元奖金才公平？

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4、在复平面内， $O$ 为坐标原点，复数 $z_{1} = i (- 4 - 3 i)$ ， $z_{2} = 12 + 5 i$ 对应的点分别为 $Z_{1} 、 Z_{2}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $⟨\vec{O Z_{1}}, \vec{O Z_{2}}⟩$ 的大小为．

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5、已知抛物线 $x^{2} = a y (a > 0)$ 上有一点 $P$ 到准线的距离为 $6$ ，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $4$ ，则抛物线的焦点坐标为．

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6、 ${(x^{6} + \frac{1}{x \sqrt{x}})}^{5}$ 的二项展开式中的常数项为．（用数字作答）

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7、若 $A, B, C, D, E$ 五人站成一排，如果 $A, B$ 必须相邻，那么排法共种.

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8、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} ln x + 1, x > 0, \\ 2^{x} + 1, x \leq 0. \end{array}$ 若 $f (x_{0}) = 1$ ，则 $x_{0} =$ ．

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9、已知 $x \in R$ ，则不等式 $x^{2} - x + 2 > 0$ 的解集为．

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10、若直线 $l_{1}$ ： $x + a y - 2 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $a x + y - 2 = 0$ 互相垂直，则 $a =$ ．

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11、设全集 $U = \{1, 2, 3, 4\}$ ，集合 $A = \{2, 4\}$ ，则 $\bar{A} =$ ．

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12、已知函数 $f (x) = x - a ln x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若关于 $x$ 的方程 $x - a ln x = 0$ 有两个不相等的实数根，记较小的实数根为 $x_{0}$ ，求证： $(a - 1) x_{0} > a$ ．

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13、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n} (a_{1} \leq a_{2} \leq \cdot \cdot \cdot \leq a_{n})$ 、 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{n} (b_{1} \leq b_{2} \leq \cdot \cdot \cdot \leq b_{n})$ 为两组正实数， $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， …， $c_{n}$ 是 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{n}$ 的任一排列，我们称 $S = a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} c_{n}$ 为这两组正实数的乱序和， $S_{1} = a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + a_{3} b_{n - 2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{1}$ 为这两组正实数的反序和， $S_{2} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} b_{n}$ 为这两组正实数的顺序和.根据排序原理有 $S_{1} \leq S \leq S_{2}$ ，即反序和≤乱序和≤顺序和.则下列说法正确的是（）

A、数组 $(1, 2, 3, 4)$ 和 $(1, 3, 5, 7)$ 的反序和为30 B、若 $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n}^{2}$ ， $B = x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + \cdot \cdot \cdot + x_{n - 1} x_{n} + x_{n} x_{1}$ ，其中 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n} (x_{1} \leq x_{2} \leq \cdot \cdot \cdot \leq x_{n})$ 都是正实数，则 $A \leq B$ C、设正实数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的任一排列为 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ ，则 $\frac{a_{1}}{c_{1}} + \frac{a_{2}}{c_{2}} + \frac{a_{3}}{c_{3}}$ 的最小值为3 D、已知正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 满足 $x_{1} + x_{2} + \cdot \cdot \cdot + x_{n} = P$ ， P为定值，则 $F = \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{x_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{x_{n - 1}^{2}}{x_{n}} + \frac{x_{n}^{2}}{x_{1}}$ 的最小值为 $\frac{P}{2}$

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14、如图，点 $P$ 是棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点， $F$ 是线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则（）

A、若点 $P$ 满足 $A P ⊥ B_{1} C$ ，则动点 $P$ 的轨迹长度为 $6 \sqrt{2}$ B、当直线 $A P$ 与 $A B$ 所成的角为 $45^{\circ}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{3}{2} π + 6 \sqrt{2}$ C、三棱锥 $A - P B_{1} D_{1}$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ D、当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P F$ $∥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时，线段 $P F$ 长度最大值为 $3 \sqrt{2}$

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15、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，我们可以采用公式 $\{\begin{array}{l} x^{'} = a x + b y + c, \\ y^{'} = m x + n y + p \end{array}$ （其中 $a, b, c, m, n, p$ 为常数），将点 $P (x, y)$ 变换成点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式．常见的线性变换有平移变换和旋转变换．

(1)、将点 $P (x, y)$ 向左平移 $1$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位，得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 向左平移 $1$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位后，所得新椭圆的方程；

(2)、将点 $P (x, y)$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后，得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后，所得新椭圆的方程；

(3)、若点 $P (x, y)$ 满足 $x^{2} + x y + y^{2} + 2 x + y - 2 = 0$ ，证明：点 $P (x, y)$ 的轨迹是椭圆．

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16、在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，直线 $A M$ ， $B M$ 相交于点 $M$ ，且它们的斜率之积是 $- \frac{1}{4}$ ．记点 $M$ 的轨迹是曲线 $C$ ，点 $D (x_{0}, y_{0}) (y_{0} > 0)$ 是曲线 $C$ 上的一点．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $x_{0} = 1$ ，直线l过点 $D$ 与曲线 $C$ 的另一个交点为 $E$ ，求 $△ O D E$ 面积的最大值；

(3)、过点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 作直线交曲线 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $O D ⊥ P Q$ ，证明： $\frac{1}{| P Q |} + \frac{1}{| O D |^{2}}$ 为定值．

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17、如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且有 $A D = 2 B C = 2 A B = 2 C D = P B = P C$ ， E，F分别是AD，BC的中点，动点Q在PF上．

(1)、证明：平面 $P E F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、当 $E Q ⊥ P F$ 时，求平面QAB与平面QCD所成角的余弦值．

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18、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，记 $△ A B C$ 的面积为S，已知 $A + B = 2 C$ ．

(1)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的半径；

(2)、求 $\frac{S}{(a + b + c) (a + b - c)}$ 的值．

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19、已知圆C： ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 25$ ，点P（1，4），且直线l经过点P．

(1)、若l与C相切，求l的方程；

(2)、若l的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，求l被圆C截得的弦长．

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20、设O是坐标原点， $F_{1}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，椭圆上的点P关于O的对称点是Q，若 $∠ P F_{1} Q = 120 °$ ， $| P Q | = \sqrt{3} a$ ，则该椭圆的离心率是．

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