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1、双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点，过C右支上一点 $A (x_{0}, y_{0}) (x_{0} > \sqrt{3})$ 作双曲线的切线交x轴于点 $P (x_{p}, 0)$ ，则（）

A、 $0 < x_{P} < \sqrt{3}$ B、平面上点 $B (4, 1), |A F_{2}| + |A B|$ 的最小值为 $\sqrt{37} - 2 \sqrt{3}$ C、若经过左焦点 $F_{1}$ 的入射光线经过点A，且 $x_{0} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ ，则入射光线与反射光线的夹角为 $\frac{π}{3}$ D、过点 $F_{1}$ 作 $F_{1} H ⊥ A P$ ，垂足为H，则 $| O H | = \sqrt{3}$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2 n - 1$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ 成立， $a_{1} = - 1$ ，其前n项和记为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $\{a_{n} + 2 n + 1\}$ 是等比数列 B、 $\{a_{n + 1} - a_{n} + 2\}$ 是等差数列 C、 $a_{n} = 2^{n} - 2 n - 1$ D、存在实数 $λ$ ，使得 $\{S_{n} - {(n + λ)}^{2}\}$ 为等比数列

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3、已知曲线 $C : m x^{2} + n y^{2} = m n$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m > n > 0$ ，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B、若 $m = 3 n > 0$ ，则C是椭圆，其离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、若 $n > 0 > m$ ，则C是双曲线，其焦点在y轴上 D、若 $m = - 2 n < 0$ ，则C是双曲线，其离心率为 $\sqrt{3}$

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{n + 1} \cdot \sqrt{1 + 4 a_{n}^{2}} = a_{n}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 成立，令 $b_{n} = a_{n}^{2} \cdot a_{n + 1}^{2}, S_{n}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{n} < \frac{t}{31}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则整数t的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c, 0)$ ，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线 $A M$ 的斜率为 $\frac{4}{3}$ ，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3}, 1)$ B、 $(0, \frac{1}{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{10}}{10}, 1)$ D、 $(0, \frac{\sqrt{10}}{10}]$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ 对任意的 $m$ 、 $n \in N^{*}$ 恒成立，若 $a_{k} + a_{k + 1} + \dots + a_{k + 9} = 2^{16} - 2^{6}$ ，则 $k =$ （）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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7、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A = 2$ ， $A B = 1$ ，则直线 $P C$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$

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8、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3 n - 25$ ，则当该数列的前n项和 $S_{n}$ 取得最小值时n的值为（）

A、9 B、8 C、8或9 D、7或8

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9、将正奇数按照如图排列，我们将 $3, 7, 13, 21, 31$ ……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）

A、55 B、75 C、111 D、135

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10、若直线 $l_{1} : (m - 1) x + y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : 2 x + m y + 4 = 0$ 平行，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 1$ 或 $2$ C、 $2$ D、 $1$

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11、过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 焦点的直线与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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12、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 b cos C = a c - 2 c cos B$ .

(1)、求 $c$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A B$ 中点， $C D = \sqrt{2}$ ， $∠ A C B = 60^{\circ}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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13、空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在OA上， $\vec{O M} = \frac{2}{3} \vec{O A}$ ，点N为BC的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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14、已知三次函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 在 $x = - \frac{1}{3}$ 处取到极值 $\frac{32}{27}$ ．

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、若函数 $h (x) = 2 x^{2} + 8 x + n$ 与 $f (x)$ 在 $[- 2, 1]$ 上有两个交点，求实数 $n$ 的取值范围；

(3)、证明：当 $m > - \frac{4}{3}$ 时，函数 $f (x)$ 的图象上存在两条与直线 $x + m y = 0$ 垂直的切线．

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15、已知边长为4的菱形 $A B C D$ （如图1）， $∠ B A D = \frac{π}{3}, A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O, E$ 为线段 $A O$ 上一点，将三角形 $A B D$ 沿 $B D$ 折叠成三棱锥 $A - B C D$ （如图2）．

(1)、证明： $B D ⊥ C E$ ；

(2)、若三棱锥 $A - B C D$ 的体积为8，二面角 $B - C E - O$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ ，求 $O E$ 的长．

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q \in (0, 1)$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $S_{3} + a_{3} = 1$ ，且 $a_{2} + \frac{1}{16}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{3}$ 的等差中项

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 0, b_{n + 1} - b_{n} = a_{n} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．求 $T_{n}$ ．

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对边的长分别为 $a, b, c$ ，且满足 $b \sin A = a \cos \frac{A + C}{2}$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{5}, \vec{B A} \cdot \vec{C B} = 3$ ， $B D$ 是 $△ A B C$ 的中线，求 $B D$ 的长．

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18、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cdot \sin (x + \frac{π}{6})$ ，则当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时 $f (x)$ 的最大值为．

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19、已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为 $r_{2}$ 和 $r_{1}$ ，母线长分别为 $2 (r_{1} - r_{2})$ 和 $3 (r_{1} - r_{2})$ ，则两个圆的体积之比 $\frac{V_{甲}}{V_{乙}} =$ ．

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20、数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与 $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ 相关的代数问题，可以转化为点 $A (x, y)$ 与点 $B (a, b)$ 之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 5} + \sqrt{x^{2} - 4 x + 5}$ ，下列结论正确的是（）

A、方程 $f (x) = 5$ 无解 B、方程 $f (x) = 6$ 有两个解 C、 $f (x)$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$ D、 $f (x)$ 的最大值为 $6 \sqrt{5}$

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