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相关试卷

1、如图，在三棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ A B C$ 都为等边三角形，且边长分别为 $2$ 和 $4$ ， $C C_{1} = 2$ ， $∠ A C C_{1} = ∠ B C C_{1} = 90 °$ ， $G$ 为线段 $A C$ 的中点， $H$ 为线段 $B C$ 上的点， $A_{1} B ∥$ 平面 $C_{1} G H$ ．

(1)、求证：点 $H$ 为线段 $B C$ 的中点；

(2)、求点 $H$ 到平面 $A_{1} A B$ 的距离．

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2、袋子中放有大小质地完全相同的球若干个，其中红色球1个，黑色球1个，白色球 $n$ 个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到白色球为事件 $A$ ，且事件 $A$ 发生的概率是 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率．

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3、已知 $F$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ 的右焦点， $P$ 为 $C$ 上一点， $Q$ 为圆 $M : x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上一点，则 $|P Q| - |P F|$ 的最小值为．

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4、人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，设 $P (x, y, z)$ 是平面 $α$ 内的任意一点，若平面 $α$ 经过点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且以 $\vec{u} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 为法向量，则由 $\vec{u} \cdot P_{0} P = 0$ ，可得 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，此即为平面的点法式方程．利用上面给出的材料，解决下面的问题：已知平面 $α$ 的方程为 $2 x + 2 y + z - 7 = 0$ ，直线 $l$ 的方向向量为 $(1, 2, - 2)$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为．

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5、已知直线 $l_{1} : m x + 3 y - 1 = 0$ ， $l_{2} : (m - 1) x + 2 y + 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则实数 $m =$ ．

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6、如图，若正方体 $A B C D - E F G H$ 的棱长为1，点 $M$ 是正方体的侧面 $A D H E$ 上的一个动点（含边界）， $P$ 是棱 $C G$ 上靠近 $G$ 点的三等分点，则下列结论正确的有（）

A、沿正方体的表面从点 $A$ 到点 $P$ 的最短路程为 $\frac{\sqrt{34}}{3}$ B、若 $P M ⊥ B H$ ，点 $M$ 的运动轨迹是线段 C、若 $|P M| = \frac{13}{3}$ ，则点 $M$ 在侧面 $A D H E$ 内运动路径长度为 $\frac{2}{9} π$ D、当点 $M$ 与点 $D$ 重合时，三棱锥 $B - M E P$ 的体积最大

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7、方程 $\frac{x^{2}}{m + 2} - \frac{y^{2}}{m + 1} = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $- 2 < m < - 1$ 时，方程表示椭圆 B、当 $m > - 1$ 时，方程表示焦点在 $x$ 轴上的双曲线 C、当 $m = - \frac{3}{2}$ 时，方程表示圆 D、当 $m < - 2$ 或 $m > - 1$ 时，方程表示双曲线

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8、 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 左、右焦点，若 $F_{2}$ 关于渐近线的对称点恰落在以 $F_{1}$ 为圆心， $|O F_{1}|$ 为半径的圆上，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $3$ D、 $\sqrt{3}$

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9、已知 $O (0, 0)$ ， $A (3, 0)$ ，圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上恰有 $2$ 个点 $P$ 满足 $|P A| = 2 |P O|$ ，则 $r$ 可以为（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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10、已知 $A (2, 1, 3)$ ， $B (1, 3, 4)$ ， $C (4, - 1, 3)$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 方向上的投影向量的坐标为（）

A、 $(2, - 2, 0)$ B、 $(\frac{3}{2}, - \frac{3}{2}, 0)$ C、 $(- 1, 2, 1)$ D、 $(- \frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0)$

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11、经过点 $(- 2, 4)$ 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（）

A、 $x - y + 6 = 0$ B、 $2 x - y + 8 = 0$ C、 $2 x + y = 0$ 或 $x - y + 6 = 0$ D、 $2 x + y = 0$ 或 $2 x - y + 8 = 0$

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12、已知动点 $Q$ 在 $△ A B C$ 所在平面内运动，若对于空间中任意一点 $P$ ，都有 $\vec{P Q} = - 2 \vec{P A} + 4 \vec{P B} + m \vec{P C}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、2 B、0 C、 $- 1$ D、1

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13、某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生0 $\sim$ 9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）

A、0.9 B、0.8 C、0.7 D、0.6

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14、直线 $x + y - \sqrt{3} = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $45 °$ B、 $- 45 °$ C、 $60 °$ D、 $135 °$

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15、已知点 $P$ 和非零实数 $λ$ ，若两条不同的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 均过点 $P$ ，且斜率之积为 $λ$ ，则称直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是一组“ $P_{λ}$ 共轭线对”，如直线 $l_{1} : y = 2 x$ ， $l_{2} : y = - \frac{1}{2} x$ 是一组“ $O_{- 1}$ 共轭线对”，其中 $O$ 是坐标原点．规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角．

(1)、已知直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 均过点 $M (1, 2)$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是一组“ $M_{2}$ 共轭线对”，且 $l_{1}$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，求 $l_{2}$ 的一般式方程；

(2)、已知 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是一组“ $O_{- 3}$ 共轭线对”，求 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的夹角的最小值；

(3)、已知点 $Q (- 1, - \sqrt{2})$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是“ $Q_{- 2}$ 共轭线对”，当 $l_{1}$ 的斜率变化时，求原点 $O$ 到直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离之积的取值范围．

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16、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为2的等边三角形， $C C_{1} = 2$ ， $D, E$ 分别是线段 $A C, C C_{1}$ 的中点， $C_{1}$ 在平面 $A B C$ 内的射影为 $D$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、若点 $F$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 上的动点（不包括端点），求平面 $F B D$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值的取值范围．

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17、如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，四边形 $A B E F$ 是梯形， $B E / / A F ， B E ⊥ E F ， ∠ B A F = 30^{\circ}$ ，平面 $A B C D$ 与平面 $A B E F$ 互相垂直， $B F = 2, A F = 4$ ．

(1)、求证： $B F ⊥ A C$ ．

(2)、若二面角 $C - A F - B$ 为 $\frac{π}{6}$ ，求多面体 $A B C D E F$ 的体积．

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18、已知空间中三点 $A (2, 0, - 2)$ ， $B (1, - 1, - 2)$ ， $C (3, 0, - 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ．

(1)、已知向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 互相垂直，求 $k$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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19、在菱形 $A B C D$ 中， $A = \frac{π}{3}, A B = 2$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使得点 $A$ 到平面 $B C D$ 的距离最大，此时四面体 $A B C D$ 的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．

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20、有一光线从点 $A (- 3, 5)$ 射到直线 $l : 3 x - 4 y + 4 = 0$ 以后，再反射到点 $B (2, 15)$ ，则入射光线所在直线的方程为.

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