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相关试卷

1、已知方程 $\sqrt{1 + \cos x} + \sqrt{1 - \cos x} = \sqrt{k}$ 的正根构成等差数列，则 $k =$ （）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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2、若表示集合 $M$ 和 $N$ 关系的 $Venn$ 图如图所示，则 $M, N$ 可能是（）

A、 $M = {0, 2, 4, 6}, N = \{4\}$ B、 $M = {x | x^{2} < 1}, N = {x | x > 1}$ C、 $M = {x | y = lg (x - 2)}$ ， $N = \{y |y = e^{x} + \frac{1}{e^{x}}\}$ D、 $M = {(x, y) | x^{2} = y^{2}}, N ＝ {(x, y) | y = x}$

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3、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c = 2, \frac{1}{tan A} + \frac{1}{tan B} + \frac{1}{tan A tan B} = 1$ ．则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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4、已知点 $A (- 1, 1)$ ， $B (1, - 1)$ ， $C (3, 3)$ .动点 $P$ 满足 $| P A |^{2} + | P B |^{2} + | P C |^{2} = 70$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2} - 1$ C、30 D、31

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5、已知双曲线的两个焦点分别为 $(0, 4), (0, - 4)$ ，点 $(- 6, 4)$ 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A、4 B、3 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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6、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，椭圆 $C_{2}$ 与椭圆 $C_{1}$ 具有相同的离心率，且经过点 $(2, 2)$ ．

(1)、求 $C_{2}$ 的标准方程；

(2)、若 $C_{2}$ 的焦点在x轴上， $P (x_{0}, y_{0})$ 为 $C_{2}$ 上一点，A、B两点在 $C_{1}$ 上，且线段PA、PB的中点都在 $C_{1}$ 上．
（i）当点P运动时， $△ P A B$ 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说理由；
（ii）记 $θ = ∠ A P B$ ，求 $\tan θ$ 的取值范围．

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7、受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为 $T_{1}$ ， $T_{2}$ ， $T_{3}$ .甲有一半的时间以速度 $V_{1}$ 米/秒奔跑，另一半的时间以速度 $V_{2}$ 米/秒奔跑；乙全程以速度 $\sqrt{V_{1} V_{2}}$ 米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度 $V_{1}$ 米/秒奔跑，另一半的路程以速度 $V_{2}$ 米/秒奔跑.其中 $V_{1} > 0$ ， $V_{2} > 0$ .则下列结论中一定成立的是（）

A、 $T_{1} \leq T_{2} \leq T_{3}$ B、 $T_{1} \geq T_{2} \geq T_{3}$ C、 $T_{1} T_{3} = T_{2}^{2}$ D、 $\frac{1}{T_{1}} + \frac{1}{T_{3}} = \frac{2}{T_{2}}$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} + n - 3$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \{\begin{array}{l} k, n = a_{k} - 1 \\ b_{n - 1} + 2 k, a_{k} - 1 < n < a_{k + 1} - 1 \end{array}$ ， $k \in N^{*}$
（i）当 $k \geq 2$ ， $n = a_{k + 1} - 1$ 时，求证： $b_{n - 1} \geq (a_{k} - 1) \cdot b_{n}$ ；
（ii）求 $\sum_{i = 1}^{S_{n} - n} b_{i}$ .

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9、已知曲线 $C$ 上任意一点 $P (x, y)$ 满足 $\sqrt{{(x + \sqrt{2})}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - \sqrt{2})}^{2} + y^{2}} = 2$ ．

(1)、化简曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ （ $O$ 为坐标原点），直线 $l$ 经过点 $A (m, 0) (m > 1)$ 且与圆 $O$ 相切，过点 $A$ 作直线 $l$ 的垂线，交 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $△ O M N$ 面积的最小值．

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10、图1是直角梯形 $A B C D, A D // B C$ ， $∠ B = 90^{\circ}$ ，四边形 $A E C D$ 是边长为2的菱形，并且 $∠ A D C = 120^{\circ}$ ，以 $D E$ 为折痕将 $△ C D E$ 折起，使点 $C$ 到达点 $C_{1}$ 的位置，如图2.

(1)、求证： $A C_{1} ⊥ D E$ ；

(2)、若平面 $C_{1} D E ⊥$ 平面 $A B E D$ ，在棱 $B C_{1}$ 上找一点 $M$ ，使得点 $M$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{15}}{15}$ ，并求 $\frac{B M}{B C_{1}}$ 的值；

(3)、在（2）的前提下，求直线 $E M$ 与平面 $A D C_{1}$ 所成角的正弦值.

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11、近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，某小区将一周网上买菜次数超过3次的居民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的居民认定为“不喜欢网上买菜”.为了解该社区居民网上买菜的情况，工作人员随机抽取了该社区100名居民，得到的统计数据如下表所示：

喜欢网上买菜
不喜欢网上买菜
合计
年龄不超过45岁的居民
40
10
50
年龄超过45岁的居民
20
30
50
合计
60
40
100

(1)、试根据 $a = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，分析该社区的居民是否喜欢网上买菜与年龄有关系．

(2)、居民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜．如果周一选择在 $A$ 平台买菜，那么周二选择在 $A$ 平台买菜的概率为 $\frac{4}{5}$ ；如果周一选择在 $B$ 平台买菜，那么周二选择在 $A$ 平台买菜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求小张周二选择在 $B$ 平台买菜的概率.

(3)、用频率估计概率，现从该社区随机抽取10名居民，记其中喜欢网上买菜的居民人数为随机变量 $X$ ，并记随机变量 $Y = 2 X + 3$ ，求X，Y的数学期望和方差．
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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12、已知函数 $f (x) = (x^{2} - a x) \ln x + x$ 的图象在点 $(e, f (e))$ 处的切线斜率为 $3 (e - 1)$ ．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上的最大值．

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ．

(1)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，求证： $\{b_{n}\}$ 为等差数列；

(2)、求数列 $\{a_{n} a_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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14、将分别标有号码 $1 ~ 6$ 的6个小球平均分为两组，则“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有种.

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15、已知 $\cos (α + β) = \frac{1}{3}, \sin α \sin β = - \frac{1}{12}$ ，则 $\cos^{2} α - \sin^{2} β =$ ．

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16、设 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} + a_{7} = 18, 4 a_{3} + a_{6} = 36$ ，则 $S_{8} =$ ．

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17、函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - (2 a + 1) x^{2} + 8 a x + 32 a^{2}$ ，其中 $a$ 是常数，则（）

A、当 $a = \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 是增函数 B、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点，则 $a = \frac{1}{4}$ C、若 $a > 1$ ，且 $f (x)$ 有2个零点，则 $a = \frac{9}{2}$ D、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 有3个零点

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18、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图.
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的有（）

A、该地家庭年收入低于5.5万元的农户所占比例估计为 $16 %$ B、估计该地农户家庭年收入的 $75 %$ 分位数为9万元 C、估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D、估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

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19、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > 0)$ 的左，右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，下列说法正确的有（）

A、若双曲线的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、若双曲线的通径长为2，则 $a = 2$ C、若 $P$ 是双曲线与以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆的交点，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为2 D、若点 $Q (3, 2)$ 在双曲线上，则 $|Q F_{1}| - |Q F_{2}| = \sqrt{3}$

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20、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $a^{2} + 4 \sqrt{3} S = {(b + c)}^{2}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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	喜欢网上买菜	不喜欢网上买菜	合计
年龄不超过45岁的居民	40	10	50
年龄超过45岁的居民	20	30	50
合计	60	40	100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828