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相关试卷

1、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，若它们满足如下性质：① $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数；② $f (x) + g (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）；则称 $f (x)$ 为类正弦函数， $g (x)$ 为类余弦函数.

(1)、求类正弦函数和类余弦函数的解析式；

(2)、求证：
（ⅰ） $f (2 x) = 2 f (x) g (x)$ ；
（ⅱ） $g (2 x) = 2 {[g (x)]}^{2} - 1$ ；

(3)、解关于 $x$ 的不等式： $g (2 x) - (b + \frac{1}{b}) g (x) + \frac{3}{2} \leq 0$ ，其中 $b$ 为非零常数.

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2、已知函数 $f (x) = \log_{2} x$ ， $g (x) = 4^{x} - a \cdot 2^{x}$ ， $a \in R$ ， $h (x) = x + \frac{3}{x}$ ；

(1)、当 $x \in [2, 4]$ 时，求函数 $h [f (x)]$ 的值域；

(2)、当 $x \in [1, 3]$ 时， $g (x) + a - 2 \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在 $x_{1} \in [2, 4]$ ，使得不等式 $h [f (x_{1})] \geq |g (x_{2}) - g (x_{3})|$ 对任意 $x_{2}$ ， $x_{3} \in [0, 1]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = \sin 2 x \cos θ - \cos 2 x \cos (\frac{π}{2} - θ)$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ），且 $|f (\frac{π}{3})| = 1$ .

(1)、求 $θ$ 的值及 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则求不等式 $g (x) + g (2 x - \frac{π}{2}) > 0$ 的解集

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4、已知 $A = \{x |\frac{4 - x}{x} > 1\}$ ， $B = \{x |2 m - 1 < x < m + 1, m \in R\}$

(1)、若 $m = 0$ ，求 $(∁_{R} A) \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，则求实数m的取值范围.

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5、（1）计算： ${(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}} + 10^{\lg 2} + \log_{\frac{1}{9}} \sqrt{3} + \log_{5} 16 \cdot \log_{2} \sqrt{5}$ ；
（2）已知 $\frac{3 π}{4} < α < π$ ， $\tan α + \frac{1}{\tan α} = - \frac{5}{2}$ ，求 $2 \sin^{2} α - \sin α \cos α - 3 \cos^{2} α$ 的值..

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6、已知 $f (x) = x \ln (\sqrt{x^{2} + 2} + x) - \frac{1}{2} x \ln 2$ ，若对于任意的 $x \in (- \infty, - 1) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ ， $f (x - a) < f (3 x)$ 恒成立，则a的取值范围是.

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7、已知扇形的周长为 $8$ ，圆心角为 $6 rad$ ，则扇形的面积为.

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 1, x \leq 0 \\ |\ln x - 1|, x > 0 \end{array}$ ，若关于x的方程 ${[f (x)]}^{2} + a \cdot f (x) + a = 0$ 有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则（）

A、 $0 \leq x_{1} x_{2} < 1$ B、 $1 \leq x_{3} < e$ C、 $0 < x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} < e^{2}$ D、 $- \frac{1}{2} \leq a < 0$

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9、设函数 $f (x) = \frac{\sin 3 x}{\sin x \cos x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 的图象有对称中心 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递减

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10、下列命题中正确的是（）

A、 $\forall x \in (- \infty, 0)$ ， $2^{x} > 3^{x}$ B、 $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $2^{x} > 3^{x}$ C、 $\forall x \in (0, 1)$ ， $x^{3} < x^{\frac{1}{2}}$ D、 $\exists x \in (1, + \infty)$ ， $x^{3} < x^{\frac{1}{2}}$

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11、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - x + m$ ，则 $f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值为（）

A、 $- 5$ B、 $- 2$ C、5 D、6

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12、若不等式 $(a x - 2) (x - b) \geq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $3 \sqrt{2}$

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13、“函数 $f (x) = \lg (x^{2} - a x - 2)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调”的一个充分不必要条件是（）

A、 $- 1 < a \leq 1$ B、 $- 1 \leq a < 1$ C、 $1 < a \leq 4$ D、 $1 \leq a < 4$

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14、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c}$

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15、函数 $f (x) = \tan 2 x$ 的定义域为（）

A、 $\{x |x \neq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2}, k \in Z\}$ B、 $\{x |x \neq \frac{π}{4} + k π, k \in Z\}$ C、 $\{x |x \neq \frac{π}{2} + \frac{k π}{2}, k \in Z\}$ D、 $\{x |x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in Z\}$

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16、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x - 5$ ，则 $f (x)$ 的零点所在区间为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 3)$

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17、已知集合 $A = \{x |x = 2 m + 1, m \in Z\}$ ， $B = \{x |x = 4 n + 1, n \in Z\}$ ，则（）

A、 $A \cap B = \emptyset$ B、 $A \cup B = Z$ C、 $A \subseteq B$ D、 $B \subseteq A$

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，且经过点 $(1, \frac{3}{2})$ .过左焦点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点，过点 $F$ 与 $l$ 垂直的直线交 $C$ 于 $D, E$ 两点，其中 $B, D$ 在 $x$ 轴上方， $M N$ 分别为 $A B, D E$ 的中点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、证明：直线 $M N$ 过定点，并求定点坐标；

(3)、设 $G$ 为直线 $A E$ 与直线 $B D$ 的交点，求 $△ G M N$ 面积的最小值.

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19、2023年4月21日，以“去南充，Lang起来”为主题的南充文旅（成都）推介会在成都宽窄巷子举行．本次推介会围绕“六百里秀美嘉陵江，两千年人文南充城”展开，通过川北大木偶、川剧快闪等多个环节，展示了将帅故里、锦绣南充的文旅资源，同时还向成都市民和广大游客推介了千年古城阆中游、将帅故里红色游、山水风光览胜游、亲子行读研学游和潮流江岸时尚游等五条精品旅游线路，为了解本次推介会的效果，随机抽取了 $x$ 名观众进行有奖知识答题，现将答题者按年龄分成5组，第一组： $[20, 25)$ ，第二组： $[25, 30)$ ，第三组： $[30, 35)$ ，第四组： $[35, 40)$ ，第五组： $[40, 45]$ 进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，若第一组有5人．

(1)、求 $x$ ；

(2)、现用分层抽样的方法从第四组和第五组中抽取6人，再从这6人随机抽取2人作为幸运答题者，求这2人幸运答题者恰有1人来自第五组的概率．

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20、某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为 $0.5$ ， $0.6$ ， $0.4$ .第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为 $0.6$ ， $0.5$ ， $0.5$ .
（1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
（2）分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
（3）求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率.

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