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相关试卷

1、已知 $\overset{⃑}{a}$ =(cos α，sin α)， $\overset{⃑}{b}$ =(cos β，sin β)，且 $| k \vec{a} + \overset{⃑}{b} | = \sqrt{3} | \vec{a} - k \vec{b} | (k > 0)$ .
(1)用k表示数量积 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ ；
(2)求 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ 的最小值，并求此时 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 的夹角θ.

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2、如图，某地计划在一海滩处建造一个养殖场，射线 $O A, O B$ 为海岸线， $∠ A O B = \frac{2 π}{3}$ ，现用长度为1千米的网依托海岸线围成一个 $△ P O Q$ 的养殖场

(1)、已知 $∠ P Q O = \frac{π}{4}$ ，求 $O P$ 的长度

(2)、问如何选取点 $P, Q$ ，才能使得养殖场 $△ P O Q$ 的面积最大，并求其最大面积

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3、已知边长为2，各面均为等边三角形的四面体 $S - A B C$ 如图所示，求它的表面积.

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4、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $c ＝ 10 ， A ＝ 45 ° ， C ＝ 30 °$ ，求 $a ， b$ 和 $B$ .

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5、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $30 °$ ， $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，求：

(1)、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ .

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6、计算：

(1)、 $(2 + 3 i) (2 - 3 i)$ ；

(2)、 $\frac{1 + 2 i}{3 - 4 i}$ .

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7、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 2$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $C = 30^{\circ}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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8、已知 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (1, x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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9、直径为2的球的体积是.

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10、 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $2 a sin B = \sqrt{2} b$ ，则 $A$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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11、下列几何体中，是棱柱有（）

A、 B、 C、 D、

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12、下列复数是纯虚数的为（）

A、 $2 + \sqrt{7}$ B、 $\frac{2}{7} i$ C、 $8 + 5 i$ D、 $(1 - \sqrt{3}) i$

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13、学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为（）

A、12 m B、8 m C、2 $\sqrt{3}$ m D、4 $\sqrt{3}$ m

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14、 $\vec{A B} + \vec{B C} - \vec{A D}$ 等于（）

A、 $\vec{D C}$ B、 $\vec{D B}$ C、 $\vec{A D}$ D、 $\vec{A B}$

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15、在 $△ A B C$ 中，下列各式是余弦定理的为

A、 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$ B、 $c^{2} = a^{2} - b^{2} - 2 b c \cos A$ C、 $b^{2} = a^{2} - c^{2} - 2 b c \cos A$ D、 $\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2 a b}$

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16、利用斜二测画法画出边长为 $3 cm$ 的正方形的直观图，正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、若圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，高为1，则圆锥的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、2π

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18、复数 $z = - 2 + 3 i$ 在复平面直角坐标系中对应的点的坐标为（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(3, 2)$ D、 $(3, - 2)$

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19、对于定义域为R的函数 $y = g (x)$ ，若存在常数 $T > 0$ ，使得 $y = sin (g (x))$ 是以 $T$ 为周期的周期函数，则称 $y = g (x)$ 为“正弦周期函数”，且称 $T$ 为其“正弦周期”.

(1)、判断函数 $y = x + cos \frac{x}{2}$ 是否为“正弦周期函数”，并说明理由；

(2)、已知 $y = g (x)$ 是定义在R上的严格增函数，值域为R，且 $y = g (x)$ 是以 $T$ 为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若 $g (0) = \frac{π}{2}, g (T) = \frac{9π}{2}$ ，且存在 $x_{0} \in (0, T)$ ，使得 $g (x_{0}) = \frac{5 π}{2}$ ，求 $g (2 T)$ 的值；

(3)、已知 $y = h (x)$ 是以 $T$ 为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在 $a > 0$ 和 $A > 0$ ，使得对任意 $x \in R$ ，都有 $h (x + a) = A h (x)$ ，证明： $y = h (x)$ 是周期函数.

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20、如图所示，已知 $|\vec{O A}| = 3, |\vec{O B}| = 5$ ， $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，点 $C$ 是 $△ A B O$ 的外接圆优弧 $A B$ 上的一个动点（含端点 $A, B$ ），记 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O C}$ 的夹角为 $θ$ ，并设 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，其中 $x, y$ 为实数．

(1)、求 $△ A B O$ 外接圆的直径；

(2)、试将 $|\vec{O C}|$ 表示为 $θ$ 的函数 $y = f (θ)$ ，并指出该函数的定义域；

(3)、求 $O C$ 为直径时， $x + y$ 的值．

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