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相关试卷

1、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\exists β \in (0, 2 π)$ ，使 $sin (α + β) + cos (α + β) - \sqrt{2} = {(α - \sqrt{2})}^{2}$ 成立，则 $β =$ ．

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2、春节期间，小明一家3口､姑姑一家3口和爷爷，奶奶围坐圆桌聚餐，则在爷爷､奶奶相邻的前提下，小明一家3口均不相邻的概率为．

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3、如图所示，四面体 $S - A B C$ 的各棱长均为 $4, E, F$ 分别为棱 $A B, B C$ 的中点， $M$ 为棱 $S C$ 上异于顶点的点，则以下结论正确的为（）

A、 $E F ⊥ S B$ B、直线 $S E$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、四面体 $S - A B C$ 的外接球体积为 $8 \sqrt{3} π$ D、平面 $E F M$ 截四面体所得的截面图形的周长最小值为8

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4、下列命题为真命题的是（）

A、若 $n \in N^{*}$ ，则 $C_{2 n}^{0} + C_{2 n}^{2} + C_{2 n}^{4} + \dots + C_{2 n}^{2 n} = 2^{n - 1}$ B、若 $p : \forall x > 0, ln (2^{x}) > 0$ ，则 $\neg p : \exists x > 0, ln (2^{x}) \leq 0$ C、若 ${(m x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为60，则 $m^{2} = 4$ D、若随机变量 $ξ$ 的方差 $D (ξ) = 2$ ，则 $D (2 ξ - 1) = 4$

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5、已知 $a > b > c$ ，若 $\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c} = \frac{m}{a - c}$ 成立，则实数 $m$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $q \neq 0, a_{1} \neq 0$ ，则“ $(1 - q) S_{n} = a_{1} (1 - q^{n})$ ”是“数列 $\{a_{n}\}$ 是以 $q$ 为公比的等比数列”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知非空集合 $A = {x| |x| < a}, B = \{x |\frac{1}{\sqrt{x}} > 1\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 1]$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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8、已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足 $f (\frac{1}{2} - 3 x)$ 为偶函数， $f (2 x + 1)$ 为奇函数，当 $x \in [0, \frac{1}{2}]$ 时， $f^{'} (x) > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、函数 $y = f (x)$ 为周期函数 C、函数 $y = f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数 D、 $f (\frac{4}{3}) > f (\frac{1}{3})$

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9、若复数 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $|1 + z| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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10、某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为 $s_{1}^{2} = 10$ ，化学成绩的方差为 $s_{2}^{2} = 8, \sum_{i = 1}^{50} x_{i}^{2} = 500500$ ，其中 $x_{i}, y_{i} (i \in N$ 且1 $\leq i \leq 50)$ 分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩， $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $y = 0.4 x + t$ .

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的样本相关系数 $r$ ；

(2)、从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩 $η$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $μ$ 的估计值，用样本方差 $s_{1}^{2}$ 作为 $σ^{2}$ 的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间 $(96.84, 106.32)$ 的人数.
附：①回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$
②样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$
③若 $η \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq η \leq μ + σ) \approx 0.68, P (μ - 2 σ \leq η \leq μ + 2 σ) \approx 0.95$
④ $\sqrt{10} \approx 3.16$

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11、欧拉公式 $e^{i θ} = cos θ + isin θ$ 是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的 $θ$ 取 $π$ 就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数 $z$ 满足 $|z| = \frac{1}{2}$ ，则 $|z - e^{iπ}|$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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12、如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为 $12 \sqrt{3}$ ，则正八面体外接球的体积为（）

A、 $4 \sqrt{2} π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $12 π$ D、 $36 π$

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13、若命题：“ $\exists a$ ， $b \in R$ ，使得 $a - \cos b \leq b - \cos a$ ”为假命题，则 $a$ ， $b$ 的大小关系为（）

A、 $a < b$ B、 $a > b$ C、 $a \leq b$ D、 $a \geq b$

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14、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + b (a, b \in R)$ 的图象过点 $(1, \frac{2}{3})$ ，且 $f^{'} (- 1) = - 1$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值.

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15、随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表：
使用智能辅导系统
未使用智能辅导系统
合计
入学测试成绩优秀
20
20
40
入学测试成绩不优秀
40
20
60
合计
60
40
100

(1)、判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；

(2)、若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635

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16、若 $p : - 2 < x < 2$ ， $q : \sqrt{x} < 4$ ，则 $p$ 是 $q$ 的条件.

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17、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，给出下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a + b} < \frac{1}{a b}$ B、 $|a| + b > 0$ C、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ D、 $\ln a^{2} > \ln b^{2}$

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18、函数 $f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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19、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$

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20、“一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有实数根”是“ $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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	使用智能辅导系统	未使用智能辅导系统	合计
入学测试成绩优秀	20	20	40
入学测试成绩不优秀	40	20	60
合计	60	40	100

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635