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相关试卷

1、已知甲袋有4个红球和2个白球，乙袋有2个红球和2个白球，若从甲袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球.

(1)、求4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；

(2)、设4次摸球中，摸出白球的个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望 $E (X)$ .

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2、在五一小长假期间，要从5人中选出若干人在5天假期中值班（每天只需一人值班）.

(1)、若每人都只安排一天值班，要求甲不排在1号，乙不排在5号，求所有可能的安排方式种数.

(2)、若不出现同一人连续值班2天，求所有可能的安排方式种数；

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3、已知 $f (x)$ 是定义域为 $(0, + \infty)$ 的函数，且满足 $f (x) + x f^{'} (x) = e^{x}$ ， $f^{'} (1) = 1$ ，则不等式 $f (x) \leq \log_{2} e$ 的解集是.

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4、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 1$ ，则 $\frac{y + 3}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是.

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5、已知函数 $f (x) = f^{'} (\frac{π}{3}) \sin x - \cos x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{3}) =$ .

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6、食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为1，2，3的三个食物格子，其中1号格子装有2个汉堡和3个鸡腿，2号格子装有3个汉堡和2个鸡腿，3号格子中有5个汉堡.已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样.已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入2个汉堡的记为事件A，装入2个鸡腿记为事件B，装入1个鸡腿，1个汉堡记为事件C，事件 $D_{i}$ （ $i = 1$ ， 2，3）表示食物取自i号格子，下列选项正确的是（）

A、 $P (A | D_{1}) = \frac{1}{5}$ B、 $P (B) = \frac{2}{15}$ C、 $P (C) = \frac{3}{4}$ D、 $P (C | D_{3}) = 0$

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7、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x$ ，其导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的单调减区间为 $(- 1, 3)$ B、函数 $y = f (x)$ 的极小值是 $- 9$ C、函数 $y = f (x)$ 的图像有条切线方程为 $y = - 3 x - 1$ D、点 $(1, - \frac{11}{3})$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心

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8、已知 ${(3 x + 1)}^{n}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为324，若 ${(3 x + 1)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，则（）

A、 $n = 9$ B、 $a_{4} = 10206$ C、 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 4^{n}$ D、当 $x = 4$ 时， ${(3 x + 1)}^{n}$ 被6除的余数为1

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9、某班级共有44位同学，在一次春季研学活动中，要按学号顺序抽取两位同学担任活动的负责人，并使抽到的学号将其余同学仍按学号顺序自然分成三组，且要求每组的人数均大于零且是3的倍数，则两位负责人的选取方法种数是（）

A、55 B、66 C、78 D、132

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10、已知函数 $f (x) = |\log_{2} x|$ ，正实数m，n满足 $m < n$ ，且 $f (m) = f (n)$ ，若 $m + n = \frac{5}{2}$ ，则 $f (x)$ 在区间 $[m^{2}, n]$ 上的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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11、一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是（）

A、 $\frac{7}{24}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{5}{14}$

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12、关于下列命题，其中不正确的是（）

A、若 $E (X) = 2$ ，则 $E (2 X + 1) = 5$ B、若 $D (X) = 3$ ，则 $D (2 X + 1) = 12$ C、已知随机变量 $X ~ B (4, \frac{1}{2})$ ，则 $E (X) = 2$ ， $D (X) = 1$ D、已知随机变量 $ξ ~ N (4, \frac{1}{2})$ ，若 $P (ξ \geq 6) = \frac{1}{5}$ ，则 $P (4 < ξ < 6) = \frac{3}{5}$

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13、命题“ $\forall x \in R$ ， $a x^{2} - 2 x + 1 > 0$ 恒成立”的一个充分不必要条件是（）

A、 $a > 0$ B、 $a > 1$ C、 $0 < a < \frac{1}{2}$ D、 $a > 2$

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14、 $C_{5}^{2} + C_{6}^{2} + C_{7}^{2} + C_{8}^{2} + C_{9}^{2} =$ （）

A、100 B、110 C、120 D、130

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15、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 - x}}{\ln x}$ 的定义域为（）

A、 $(0, 1) \cup (1, 2]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (0, 2]$ D、 $(0, 2]$

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16、已知集合 $A = \{x \in N |1 \leq x \leq 4\}$ ，集合 $B = \{y |y \geq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2, 4]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $\{2, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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17、英国数学家泰勒是18世纪早期一位非常杰出的数学家，以泰勒公式和泰勒级数闻名．泰勒公式是数学分析的重要组成部分，它的理论方法在近似计算、求极限、不等式的证明等方面都有重要的应用．例如：函数 $f (x) = e^{x}$ 的带有佩亚诺余项的泰勒展开式为： $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + O (x^{n})$ ， $x \in R$ ， $O (x^{n})$ 为佩亚诺余项，在解决问题时可以忽略不计．

(1)、若 $f (x) = e^{x}$ ，利用泰勒展开式证明： $f^{'} (x) = e^{x}$ ；

(2)、当 $x > 0$ 时，证明： $x e^{x} - ln x - x \geq 1$ ；

(3)、当 $x > 0$ 时，不等式 $x (x e^{2 x} - a) \geq 2 ln x + 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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18、定义二元函数 $f (m, n) (m, n \in R)$ ，且同时满足：① $f (m, 1) = sin m$ ；② $f (m, n + 1) = f (m, n) + \frac{sin (2 m n - m)}{2 n + 1}$ 两个条件．

(1)、求 $f (\frac{π}{2}, 2)$ 的值；

(2)、当 $0 < m < π$ 时，比较 $f (m, n) (n \in N^{*})$ 和0的大小；

(3)、若 $x = 0$ 为 $g (x) = ln (1 + x) - f (x, 2) + \frac{sin x}{3} + a x^{2}$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．
附：参考公式：
$sin α cos β = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)]$ $cos α sin β = \frac{1}{2} [sin (α + β) - sin (α - β)]$
$cos α cos β = \frac{1}{2} [cos (α + β) + cos (α - β)]$ $sin α sin β = - \frac{1}{2} [cos (α + β) - cos (α - β)]$

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19、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $A B = 2 A A_{1} = 2, E$ ， $F$ 分别为 $A B, C_{1} D_{1}$ 的中点， $P$ 是棱 $B C$ 上的动点（包含端点）．

(1)、请说明当点 $P$ 在何处时， $A_{1}, E, F, P$ 四点在同一平面内；

(2)、当点 $P$ 满足 $4 \vec{B P} = 3 \vec{B C}$ 时，求三棱锥 $P - A_{1} E F$ 的体积 $V_{P - A_{1} E F}$ ；

(3)、设二面角 $A_{1} - E F - P$ 的大小为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的最大值．

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20、动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (1, 0)$ 的距离和点 $M$ 到定直线 $l : x = 4$ 的距离的比是常数 $\frac{1}{2}$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $m : k x - y - k = 0$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，
（ⅰ）求 $|A B|$ 的取值范围；
（ⅱ）是否存在实数 $k$ ，使得点 $N (\frac{1}{7}, 0)$ 在线段 $A B$ 的中垂线上？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，说明理由．

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