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相关试卷

1、一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点 $P (4, 2)$ 的跳法共有种．（用数字作答）

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + 2 sin x$ ，若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $f (2 m) + f (n - 2) = f (0)$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是．

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3、 ${(x - \frac{1}{3 \sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中的常数项为．

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4、我们常用的数是十进制数，如 $1025 = 1 \times 10^{3} + 0 \times 10^{2} + 2 \times 10^{1} + 5 \times 10^{0}$ ，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数 $1101_{(2)} = 1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0}$ ，等于十进制的数13．已知 $m, n \in N^{*}$ ，且 $m \geq 2$ ， $n \geq 2$ ，若把 $m$ 位 $n$ 进制中的最大数记为 $M (m, n)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $M (5, 4) = 1023$ B、 $M (2, 4) < M (4, 2)$ C、 $M (3^{n}, 2) > M (3 n, 2)$ D、 $M (n + 3, n + 2) > M (n + 2, n + 3)$

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5、如图，在直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，动点 $Q$ 在侧面 $D C C_{1} D_{1}$ 内（包含边界），则下列结论正确的是（）

A、 $B D ⊥ A_{1} P$ B、平面 $A_{1} B P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ C、若 $A_{1} Q = \sqrt{11}$ ，则点 $Q$ 轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{2} π}{2}$ D、若点 $G$ 在直线 $A_{1} B$ 上，则 $A G + G P$ 的最小值为 $\sqrt{9 - 2 \sqrt{10}}$

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6、某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（）

A、平均数为3，中位数为2 B、中位数为3，众数为2 C、平均数为2，方差为2.4 D、中位数为3，方差为2.8

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7、已知抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 4 x$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $A$ ， $B$ 两点分别位于 $x$ 轴的上下两侧，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 5$ ，其中 $O$ 为坐标原点．过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 向 $l$ 作垂线交 $l$ 于点 $H$ ，动点 $H$ 的轨迹为 $L$ ，则 $L$ 的方程和直线 $O H$ 斜率的最大值分别为（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ （除去点 $(1, 0)$ ）， $\frac{2}{3}$ B、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ （除去点 $(1, 0)$ ）， $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ， $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ， $\frac{1}{3}$

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8、设曲线 $y = e^{(n + 1) x} (n \in N^{*})$ 在 $(1, e^{n + 1})$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{n}$ ，则 ${log}_{2025} x_{1} + {log}_{2025} x_{2} + {log}_{2025} x_{3} + \dots + {log}_{2025} x_{2024}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- {log}_{2025} 2024$ C、 ${log}_{2025} 2024 - 1$ D、1

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9、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sinπ ω x - cosπ ω x (ω > 0)$ 在 $[0, 1]$ 内恰有3个最值点和3个零点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{10}{3}, \frac{23}{6}]$ B、 $[\frac{10}{3}, \frac{23}{6})$ C、 $[\frac{7}{3}, \frac{19}{6})$ D、 $[\frac{8}{3}, \frac{19}{6})$

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ ，若 $S_{5} = 35$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{9}$ 成等比数列，则 $a_{7}$ 的值为（）

A、11 B、13 C、19 D、17

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11、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (10, σ^{2})$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $P (X < 9.9) + P (X \leq 10.1) > 1$ B、当 $σ = 0.1$ 时， $D (2 X + 1) = 0.4$ C、 $E (X) = \sqrt{10}$ D、随机变量 $X$ 落在 $(9.9, 10.2)$ 与落在 $(9.8, 10.1)$ 的概率相等

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12、已知 $\vec{a} = (2, 2 m - 1)$ ， $\vec{b} = (4, m)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- 6$

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13、设 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 6 + 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{5}$

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14、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 6 x + 8 < 0\}$ ，集合 $B = \{x ∣ {log}_{2} (x + 1) > 1\}$ ，则 $∁_{B} A =$ （）

A、 $[1, 2] \cup [3, + \infty)$ B、 $(- 2, - 1) \cup [4, + \infty)$ C、 $(1, 2]\cup[4, + \infty)$ D、 $(1, 2) \cup (4, + \infty)$

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15、已知函数 $f (x) = x - a \ln (x + 1)$ .

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的值；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{3}{2}$ ，且 $a_{n} = \frac{3 a_{n - 1}}{2 a_{n - 1} + 1} (n \geq 2)$ .
（i）证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n}} - 1\}$ 为等比数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（ii）设 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ， $m$ 为整数，若对任意的正整数 $n$ 都有 $T_{n} < m$ ，求 $m$ 的最小值.
参考数据： $\ln 2 \approx 0.6931$ ， $\ln 3 \approx 1.0986$ ， $\ln 5 \approx 1.6094$ .

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16、已知 $△ A B C$ 是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为（）

A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法判断

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17、据统计，某产品在过去一段时间内的日销售量(单位：千克)与日销售单价(单位：元)均为时间 $t$ (天)的函数，日销售量 $g (t) = - t + m$ ( $m$ 为常数)，且 $t = 10$ 时，日销售量为26千克，日销售单价满足函数 $f (t) = \{\begin{array}{l} 25 - \frac{25}{t}, 1 < t < 9, t \in N \\ 13 + t, 9 \leq t \leq 15, t \in N \end{array}$ .
（1）写出该商品日销售额 $y$ 关于时间 $t$ 的函数(日销售额=日销售量×销售单价)；
（2）求这段时间内该商品日销售额的最大值.

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18、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边， $b = a \cos C + \frac{\sqrt{3}}{3} a \sin C$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2, b + c \geq 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19、已知不共线的向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 2, \vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ .

(1)、若 $θ = 60^{\circ}$ ，求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的值；

(2)、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $cos θ$ 的值.

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20、对于三角形 $A B C$ 形状的判断，以下说法正确的有：
①若 $\frac{a}{b} = \frac{\cos B}{\cos A}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形；
②若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = \vec{B C} \cdot \vec{C A} = \vec{C A} \cdot \vec{A B}$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形．
③ $\sin A = \cos B$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形．
④若 $△ A B C$ 平面内有一点 $O$ 满足： $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，且 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形
⑤若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B + \cos^{2} C < 1$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形．

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