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相关试卷

1、三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{1 + \sin 2 B + \cos 2 B}{\sin 2 B + 2 \sin^{2} B} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $A C$ 边上的中线长为2，求 $b$ 的最小值.

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2、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E, F, G$ 分别是 $C C_{1}, B C, A D$ 的中点.

(1)、求证： $C G$ $/ /$ 面 $D_{1} E F$ ；

(2)、求点 $G$ 到平面 $D_{1} E F$ 的距离.

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3、为了提高某海洋公园的知名度，吸引更多游客游玩.公园管理团队决定进行自媒体直播，线上与线下同时进行门票销售，助力该海洋公园的发展.团队在前7个月的直播中，门票销售额如下表所示：
时间代码x（单位：月）
1
2
3
4
5
6
7.
销售额y（单位：万元）
0.84
1.37
2.76
4.43
5.49
7.66
8.94
对数据进行处理后，得到如下统计量的值（符合线性回归关系）：
$\bar{y}$
$\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} \end{matrix}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$
4.5
165.2
140
参考公式： $\hat{b} = \frac{\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} \end{matrix} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} .$

(1)、根据表格中的数据，求出y关于x的线性回归方程；

(2)、若直播当月销售额超过12万元，能被相关部门评选为“优秀管理团队”，请预测该团队在直播后的第几个月能被评选为“优秀管理团队”.

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4、数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{π}{4},cos a_{n} = \frac{1}{tan a_{n + 1}} (n \in N^{*}), a_{n} \in (0, \frac{π}{2})$ ，若不等式 $sin a_{1} \cdot sin a_{2} \dots sin a_{m} \geq \frac{1}{6}$ 恒成立，则正整数 $m$ 的最大值为.

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5、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上下底面边长分别为4，6，若正四棱台的外接球的表面积为 $104 π$ ，则正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积

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6、已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} \sin ω x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos ω x (ω > 0)$ 对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) \leq f (\frac{π}{4})$ ，则 $ω$ 的最小值为.

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7、2024年2月，教育部办公厅印发通知，就实施银龄教师支持民办教育行动有关工作进行部署.明确组织遴选一批优秀退休教师，面向各级各类民办学校，特别是民办高校开展支教、支研.某省现有符合条件的退休教师 $600$ 人，随机编号为 $001, 002, \dots, 600$ ，现采用系统抽样方法抽取 $24$ 人参加对口支教活动，分组后在第一组随机抽得的编号为 $006$ ，则在第五组中应抽取的编号为.

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8、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上一点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心为 $M$ ，连接 $P M$ 并延长交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $|P M| = \sqrt{3} |Q M|$ ，则椭圆的短轴长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$

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9、已知 $a = ln \frac{5}{4}, b = tan \frac{1}{4}, c \cdot ln c = 1,$ 则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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10、在区间 $(0, 1)$ 上随机取一个数 $k$ ，使直线 $y = k x + 1 - k$ 与函数 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 的图象有两个公共点的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11、定义在R上的函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且函数 $y = g (2 x - 1) + 1$ 为奇函数，则函数 $y = f (x)$ 图象的对称中心是（）

A、 $(- 1, - 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(3, 1)$ D、 $(3, - 1)$

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12、已知函数 $f (x) = a x + a + \cos x (a \in R)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 上一点 $(0, - 2)$ 处的切线方程为（）

A、 $2 x + y + 2 = 0$ B、 $x + y + 2 = 0$ C、 $3 x + y + 2 = 0$ D、 $3 x + y - 2 = 0$

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13、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $a_{2} = 4, a_{1} + a_{7} = a_{3} + a_{m}, S_{m} = 35 (m \in Z)$ ，则 $a_{m} =$ （）

A、10 B、13 C、16 D、81

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14、如图所示的程序框图中，若输出的函数值 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 2]$ 内，则输入的实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 3]$ B、 $[- 1, 4]$ C、 $[\frac{1}{4}, 3]$ D、 $[\frac{1}{4}, 4]$

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15、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = 2 |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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16、已知抛物线C： $y = 2 x^{2}$ ，则C的准线方程为（）

A、 $y = - \frac{1}{8}$ B、 $x = - \frac{1}{8}$ C、 $y = - \frac{1}{2}$ D、 $x = - \frac{1}{2}$

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17、已知集合 $A = \{x | y = \sqrt{x - 1}\}, B = \{x | y = lg (2 - x)\}$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, 2]$ C、 $[1, 2)$ D、 $R$

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18、已知复数 $z = \frac{1 + a i}{2 + i^{99}} (a \in R)$ 是纯虚数，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{5}{2}$

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - b x - 1$ ，其中 $a, b \in R$ ， e为自然对数的底数.

(1)、若 $a = 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $b = 0$ ，对任意 $x_{1}, x_{_{2}} \in [1, 2], x_{1} \neq x {}_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < a (x_{1} + x_{2})$ ，同时 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上存在两个极值点m，n，求 $a$ 的取值范围.

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20、有 $n$ 个编号分别是 $1, 2, \dots, n$ 的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第 $n$ 个罐子中随机取出一颗糖果.设事件 $A_{i}$ 表示从第 $i (i = 1, 2, \dots, n)$ 个罐子中取出红色糖果，记事件 $A_{i}$ 发生的概率为 $P (A_{i})$ .

(1)、求 $P (A_{1})$ 的值；

(2)、求 $P (A_{2})$ 的值，并证明：当 $n \geq 2$ 时， $5 P (A_{n}) = P (A_{n - 1}) + 2$ ；

(3)、求 $P (A_{n})$ （用含 $n$ 的式子表达）.

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时间代码x（单位：月）	1	2	3	4	5	6	7.
销售额y（单位：万元）	0.84	1.37	2.76	4.43	5.49	7.66	8.94

$\bar{y}$	$\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} \end{matrix}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$
4.5	165.2	140