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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \log_{a} x - \frac{1}{x}$ （ $a > 1$ ）.

(1)、若 $f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上的最小值为 $\frac{1}{2}$ ，求a的值；

(2)、证明： $f (x)$ 存在唯一零点 $x_{0}$ 且满足 $a^{\frac{2}{a} - \frac{x_{0}}{a^{2}}} + x_{0}^{2} - x_{0} - \frac{1}{x_{0}^{2}} < a^{2}$ .

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2、对于三个实数a，b，k，若 $(1 + a^{2}) (1 + b^{2}) \geq k | a - b | | 1 - a b |$ 成立，则称a，b具有“性质k”.

(1)、 $\forall x \in R$ ，判断x，0是否具有“性质2”？

(2)、 $\forall y \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，判断 $\tan y$ ， 0是否具有“性质4”？

(3)、若存在 $x_{0} \in [\frac{3 π}{4}, 2 π)$ 及 $t_{0} \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，使得 $\sin 2 x_{0} - 2 \sin x_{0} - t_{0} - \frac{1}{t_{0}} - m \leq 0$ 成立， $\sin x_{0}$ ， 1具有“性质2”，求实数m的取值范围.

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3、在 $△ A B C$ 中，D是线段BC上的一点（不含端点）， $∠ A D C = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $A C \cdot \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求AD的长；

(2)、若 $∠ C A D = 2 ∠ B A D$ ，求 $\frac{B D}{C D}$ 的取值范围.

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4、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A B$ 上，且 $\vec{A E} = 2 \vec{E B}, M$ 是线段 $C E$ 上一动点.

(1)、 $\vec{M E} = m \vec{M A} + n \vec{M B}, m, n \in R$ ，求 $m \cdot n$ 的值；

(2)、若 $A B = 9, \vec{C A} \cdot \vec{C E} = 43$ ，求 $(\vec{M A} + 2 \vec{M B}) \cdot \vec{M C}$ 的最小值.

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5、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 90 °$ ， $∠ A D C = 120 °$ ， $A B = 3 \sqrt{3}$ ， $C D = 2$ ， $A D = 1$ .

(1)、求点 $C$ 到 $A D$ 所在的直线的距离；

(2)、以 $A D$ 所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，求该几何体的体积.

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6、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a^{2} - b^{2} = 2 c^{2} \cos C$ ，若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\frac{a}{b \cos^{2} B}$ 的取值范围是.

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7、若 $a > 0$ ， $b > 0$ 且满足 $2 a + b = 2$ ，则 $\frac{4}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值是．

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8、已知 $\tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $\sin 2 α =$ .

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9、已知向量 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 满足： $\vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 和 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 相互垂直，又对任意 $λ \in R$ 不等式 $| \vec{a} - λ \vec{b} | \geq | \vec{a} - \vec{b} |$ 恒成立，若 $\vec{c} = \frac{u + 2}{3} \vec{a} + \frac{4 - u}{2} \vec{b} (u \in R)$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{6 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{5 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{6 \sqrt{39}}{13}$

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10、函数 $y = sin (ω x + φ)$ （其中常数 $ω > 0$ ， $|φ| \leq \frac{π}{3}$ ）的最小正周期是 $π$ ，若其图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，所得图像关于原点中心对称，则原函数的图象（）

A、关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 中心对称 B、关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 中心对称 C、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 轴对称 D、关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 轴对称

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11、某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高PQ为（）米

A、 $45 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ B、 $45 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ C、 $90 (\sqrt{3} - 1)$ D、 $90 (\sqrt{3} + 1)$

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12、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，若 $c = 2 b cos A$ ， $a sin A - b sin B = c (sin C - sin B)$ ，则角 $B =$ （）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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13、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线，向量 $\vec{m} = x \vec{a} + \vec{b}, \vec{n} = \vec{a} + (3 x - 2) \vec{b}$ ，若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、1 B、 $- \frac{1}{3}$ C、1或 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$

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14、复数 $\frac{3 - i}{1 - i}$ 的虚部是（）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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15、已知 $A = {x ∣ 0 \leq x \leq 3}, B = {x ∣ 1 \leq x \leq 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ 1 \leq x \leq 3}$ B、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 4}$ C、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 1}$ D、 ${x ∣ 3 \leq x \leq 4}$

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16、如图 $1$ ，在直角梯形 $Α Β CD$ 中， $Α D// Β C$ ， $∠ Β Α D = \frac{π}{2}$ ， $Α Β = Β C = 1$ ， $Α D = 2$ ， $Ε$ 是 $Α D$ 的中点， $Ο$ 是 $Α C$ 与 $Β Ε$ 的交点．将 $Δ Α Β Ε$ 沿 $Β Ε$ 折起到 $Δ Α_{1} Β Ε$ 的位置，如图 $2$ ．
（Ⅰ）证明： $CD ⊥$ 平面 $Α_{1} Ο C$ ；
（Ⅱ）若平面 $Α_{1} Β Ε ⊥$ 平面 $Β CD Ε$ ，求平面 $Α_{1} Β C$ 与平面 $Α_{1} CD$ 夹角的余弦值．

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17、已知平行四边形 $A B C D$ 的三个顶点的坐标为 $A (- 1, 4)$ ， $B (- 2, - 1)$ ， $C (2, 3)$ ．
（1）在 $△ A B C$ 中，求边AC中线所在直线方程；
（2）求平行四边形 $A B C D$ 的顶点D的坐标及边BC的长度；
（3）求 $△ A B C$ 的面积.

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18、 $P - A B C D$ 是正四棱锥， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体，其中 $A B = 2$ ， $P A = \sqrt{6}$ ，则 $B_{1}$ 到平面 $P A D$ 的距离为

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19、如图， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $P A = A C = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，则二面角 $A - P B - C$ 的余弦值大小为.

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20、动点 $P$ 与定点 $A (- 1, 0), B (1, 0)$ 的连线的斜率之积为 $- 1$ ，则点 $P$ 的轨迹方程是.

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