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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{a_{n}} + a_{n - 1} (n \geq 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{4} = \frac{8}{3}$ B、 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}} > 2 \sqrt{n + 1} - 2$ C、 $a_{2024} > 45$ D、 $a_{2025} > 45$

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2、已知函数 $f (x) = 2 sin x cos x + \sqrt{3} cos 2 x - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 3 ， 1]$ B、函数 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{2}$ C、若函数 $y = f (ω x) (ω > 0)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围为 $(0 ， \frac{1}{6}]$ D、设 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导数，则方程 $f^{'} (x) = \frac{3}{2} x - \frac{π}{8}$ 恰有4个不同的实数解

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3、已知随机事件A，B发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{2} .$ 事件A，B的对立事件分别为 $\bar{A}$ ， $\bar{B}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (\bar{A}) = \frac{2}{3}$ B、若A与B互斥，则 $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ C、若 $P (A B) = P (A) P (B)$ ，则 A，B相互独立 D、 $P (A | B) + P (\bar{A} | B) = P (B)$

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4、已知 $x \in (0, 1)$ ， $y \in (0, + \infty)$ ，满足 $y^{2} + \frac{4}{y^{2}} + 2 y cosπ x - \frac{4 sinπ x}{y} = 0$ ，则xy的值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a^{x - 2} + 1 ， x \leq 2 ， \\ - {(x - 2)}^{2} + 4 a ， x > 2 \end{array} （ a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在R上为单调函数.若方程 $f^{2} (x) - 4 |f (x)| + 3 = 0$ 有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ C、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ D、 $(\frac{1}{4}, 1)$

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6、若存在实数a，使得直线 $a x + y + b = 0$ 与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相切，则实数b的取值范围是（）

A、 $[0, 2]$ B、 $(- \infty, 0] \cup [2, + \infty)$ C、 $[- 2, 0]$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [0, + \infty)$

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7、已知随机变量 $X \sim N (2 ， 1^{2})$ ， $P (X \geq 3) = a$ ，则 $P (1 < X < 2) =$ （）

A、a B、 $\frac{1}{2} - a$ C、 $1 - a$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} a$

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8、已知 $a, b$ 为实数，条件 $p$ ： $a > |b|$ ，条件 $q$ ： $a > b$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知向量 $\vec{a} = (1 ， \frac{1}{x})$ ， $\vec{b} = (2 ， x) .$ 若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数 $x =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\pm 1$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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10、若复数 $z$ 满足 $z = (1 + i) (2 + i)$ （ $i$ 是虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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11、若全集 $U = {x | 0 \leq x \leq 4 ， x \in Z}$ ， $A = \{0 ， 1 ， 2\}$ ， $B = \{2 ， 3\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{3 ， 4\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{2 ， 3\}$

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12、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ （ $|F_{1} F_{2}| < 10$ ），上顶点为A， $A F_{1} ⊥ A F_{2}$ ，且 $F_{1}$ 到直线l： $x - \sqrt{2} y + 5 = 0$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；

(3)、P为C上的动点，M，N为l上的动点，且 $|M N| = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ P M N$ 面积的取值范围．

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13、已知函数 $f (x) = \frac{x - a}{x} - \ln x (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e}, e]$ 上的最大值 $g (a)$ ．

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14、已知直线 $l$ ： $(a - 1) y = (2 a - 3) x + 1$ .

(1)、求证：直线 $l$ 过定点，并求出此定点的坐标；

(2)、若直线 $l$ 与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线 $l$ 的方程.

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15、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n}^{2} + a_{n} = 2 S_{n}$ ，若 $λ > \frac{a_{n}^{3}}{3^{n}}$ 对 $\forall n \in N^{*}$ 恒成立，则 $λ$ 的取值范围是.

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16、已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ，点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，点 $P$ 为圆上的动点，则 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2}$ 的最大值是.

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17、甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，若甲、乙两人射击的命中率分别为 $\frac{3}{5}$ 和 $\frac{3}{4}$ ，假设两人射击互不影响.则两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为.

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18、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{23} > 0$ ， $S_{24} < 0$ ，则下列结论错误的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、 $a_{13} > 0$ C、当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 13$ D、 $|a_{13}| > |a_{12}|$

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19、为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越来越重视学生的实际操作（简称实操）能力的培养．中职生小王在对口工厂完成实操产品100件，质检人员测量其质量（单位：克），将所得数据分成5组： $[95, 97), [97, 99), [99, 101), [101, 10), [103, 105]$ ．根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质量在 $[99, 101)$ 内的为优等品．对于这100件产品，下列说法正确的是（）

A、质量的平均数为99.7克（同一区间的平均数用区间中点值代替） B、优等品有45件 C、质量的众数在区间 $[98, 100)$ 内 D、质量的中位数在区间 $[99, 101)$ 内

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20、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若直线 $x - y - 2 a = 0$ 是函数 $y = \ln (x + b - 1) + 1$ 的一条切线，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值是（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $8$ D、 $16$

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