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相关试卷

1、事件 $A$ 与 $B$ 互斥，若 $P (A) = 0.2, P (B) = 0.6$ ，则（）

A、 $P (\bar{A} + \bar{B}) = 1$ B、 $P (\bar{A} B + A \bar{B}) = 0.56$ C、 $P (\bar{A}) P (B ∣ \bar{A}) = 0.6$ D、 $P (\bar{A} ∣ \bar{B}) = 0.8$

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2、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = f^{'} (x)$ ， $x \in R$ ，且 $y = f^{'} (x)$ 在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）
①“ $x_{1} > x_{2}$ ”是“ $f (x_{1} + 1) + f (x_{2}) > f (x_{1}) + f (x_{2} + 1)$ ”的充要条件；
②“对任意 $x < 0$ 都有 $f (x) < f (0)$ ”是“ $y = f (x)$ 在R上为严格增函数”的充要条件．

A、①真命题；②假命题 B、①假命题；②真命题 C、①真命题；②真命题 D、①假命题；②假命题

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3、根据贝叶斯统计理论，事件 $A$ ， $B$ ， $\bar{A}$ （ $A$ 的对立事件）存在如下关系： $P (B) = P (A) \cdot P (B | A) + P (\bar{A}) \cdot P (B | \bar{A})$ ．若某地区一种疾病的患病率是 $0.02$ ，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为 $99 %$ ，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有 $99 %$ 的可能呈现阳性，该试剂的误报率为 $5 %$ ，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有 $5 %$ 的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）

A、0.0688 B、0.0198 C、0.049 D、0.05

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4、现有一组数据0，l，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于4的概率为（）

A、 $\frac{5}{14}$ B、 $\frac{3}{14}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{1}{7}$

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5、一个袋中有m个红球，n个白球，p个黑球（ $1 \leq m < n \leq 5$ ， $p \geq 4$ ），从中任取1个球（每球取到的机会均等），设 $ξ_{1}$ 表示取出的红球个数， $ξ_{2}$ 表示取出的白球个数，则

A、 $E (ξ_{1}) > E (ξ_{2}), D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$ B、 $E (ξ_{1}) > E (ξ_{2}), D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$ C、 $E (ξ_{1}) < E (ξ_{2}), D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$ D、 $E (ξ_{1}) < E (ξ_{2}), D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$

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6、已知二项展开式 ${(\frac{1}{2} x - \frac{3}{2})}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、5

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7、已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x}} - x + 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为（）

A、 $x + y - 2 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x + y - 2 = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1}$ ， $a_{6}$ 为函数 $f (x) = x^{2} - 33 x + 32$ 的两个零点，则 $a_{3} a_{4} =$ （）

A、10 B、12 C、32 D、33

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9、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} + \vec{b} = (1, - 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{a} + \vec{b} | = 2$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1$

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10、北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有 $a b$ $(a = b + 1)$ 个小球，第二层有 $(a + 1) (b + 1)$ 个小球，第三层有 $(a + 2) (b + 2)$ ..........依此类推，最底层有 $c d$ 个小球，共有 $n$ 层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共 $7$ 层，小球总个数为 $168$ ，则该垛积的第一层的小球个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、下列命题不正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > - b$ ，则 $- a > b$ C、若 $a c > b c$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b$ ，则 $a - c > b - c$

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12、已知函数 $f (\frac{x + 1}{x}) = \frac{1}{x^{2}} - 2$ ，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ B、 $f (x) = x^{2} - 2 (x \neq 0)$ C、 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3 (x \neq 1)$ D、 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1 (x \neq 1)$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} |x + \frac{1}{x} + 2|, x < 0 \\ |5^{x} - 2|, x \geq 0 \end{cases}$ ，若存在实数 $t$ ，使得方程 $f (x) = t$ 有 $4$ 个不同的实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{x_{1} + x_{2}}{5^{2 x_{4} - x_{3}}}$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, - \frac{4}{3}]$ B、 $(- \frac{4}{3}, - 1]$ C、 $(- 1, - \frac{1}{3}]$ D、 $(- \frac{1}{3}, 0)$

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14、若方程 $x^{2} + y^{2} + 4 m x - 2 y + 4 m^{2} - m = 0$ 表示一个圆，则实数 m的取值范围是（）

A、 $m < - 1$ B、 $m < 1$ C、 $m > - 1$ D、 $m \geq - 1$

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15、已知平面 $α$ 与平面 $β$ 是空间中距离为1的两平行平面， $A B \subset α$ ， $C D \subset β$ ，且 $A B = C D = 2$ ， $A B$ 和 $C D$ 的夹角为 $60 °$ .
（1）证明：四面体 $A B C D$ 的体积为定值；
（2）已知 $P \in β$ ，且 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在半径为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 的球面上.当 $P A$ ， $P B$ 与平面 $α$ 的夹角均为 $θ$ 时，求 $\cos θ$ .

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16、某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于 $[15, 25]$ 之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若从高度在 $[15, 17)$ 和 $[17, 19)$ 中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在 $[15, 17)$ 内的株数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

(3)、以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在 $[21, 25]$ 的条件下，至多 1株高度低于 $23 cm$ 的概率.

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17、第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95)$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、估计这100名候选者面试成绩的众数和第60%分位数（分位数精确到0.1）；

(3)、在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．

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18、如图，下列正方体中， $O$ 为底面的中点， $P$ 为所在棱的中点， $M$ 、 $N$ 为正方体的顶点，则满足 $M N ⊥ O P$ 的是（）

A、③④ B、①② C、②④ D、②③

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19、在 $△ A B C$ 中， $\frac{\vec{B A} \cdot \vec{A C}}{|\vec{B C}|} + \frac{\vec{A C} \cdot \vec{B C}}{|\vec{B C}|} = 0$ ， $\frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} \cdot \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、三边均不相等的三角形 C、等边三角形 D、等腰（非等边）三角形

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20、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 0, 3), \vec{b} = (1, - 1, 1), \vec{c} = (- 1, 2 x, 1)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则实数 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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